¿Podemos formar un triángulo a partir de tres segmentos de línea?
La mayoría de nosotros estamos familiarizados con el hecho de que los triángulos tienen tres lados. Sin embargo, es posible que no estemos familiarizados con lo que tiene que ser cierto sobre tres segmentos de línea para que formen un triángulo. ¿Es posible crear un triángulo a partir de tres segmentos de línea? Por ejemplo, si le doy tres segmentos de línea con longitudes de 3, 4 y 5 unidades, ¿puede crear un triángulo a partir de ellos? ¿Y si tienen longitudes de 3, 4 y 9 unidades?
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Observe en la imagen, cuando nuestros segmentos de línea tienen longitudes de 3, 4 y 9 unidades, parece que tenemos un triángulo incompleto. Parece que nuestros dos segmentos de línea de longitud 3 y 4 unidades son demasiado cortos o el segmento de línea de longitud 9 es demasiado largo. Esto responde a nuestra pregunta: no podemos crear un triángulo a partir de solo tres segmentos de línea. Pero hay una relación entre esos segmentos de línea que debe ser cierta, ¿verdad? Da la casualidad de que existe, y esa relación se explica mediante el teorema de desigualdad de triángulos .
Teorema de la desigualdad del triángulo
El teorema de la desigualdad del triángulo establece que la longitud de cualquiera de los lados de un triángulo debe ser más corta que las longitudes de los otros dos lados sumados. Esto nos dice que para que tres segmentos de línea creen un triángulo, debe ser cierto que ninguna de las longitudes de cada uno de esos segmentos de línea es más larga que las longitudes de los otros dos segmentos de línea combinados.
Por ejemplo, veamos nuestro ejemplo inicial. Pudimos crear un triángulo con segmentos de línea que tenían longitudes de 3, 4 y 5 unidades. Esto se debe a que esos segmentos de recta satisfacen el teorema de desigualdad de triángulos.
- 3 + 4 = 7 y 5 <7
- 4 + 5 = 9 y 3 <9
- 3 + 5 = 8 y 4 <8
Vemos que ninguno de los segmentos de línea es más largo que los otros dos segmentos de línea combinados.
Sin embargo, si consideramos los segmentos de línea con longitudes 3, 4 y 9, vemos que el segmento de línea con una longitud de 9 unidades es más largo que los otros dos segmentos de línea combinados.
- 3 + 4 = 7 y 9> 7
Esto explica por qué no pudimos crear un triángulo con estos tres segmentos de línea. No satisfacen el teorema de la desigualdad del triángulo.
¿Por qué es cierto el teorema de la desigualdad del triángulo?
Con el fin de entender por qué la desigualdad triangular teorema es cierto, hay que reconocer que la distancia más corta entre un punto A y una línea L es la longitud del segmento de recta que pasa por A y es perpendicular a la línea L . Esto es fácil de ver en la imagen de abajo.
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Llamaremos a esto la propiedad de la distancia más corta , ya que explicamos por qué el teorema de desigualdad de triángulos es verdadero.
Consideremos un triángulo general RST . Dibujaremos un segmento de línea comenzando en el punto R y perpendicular al segmento de línea ST . Dejamos que el punto V sea donde esta línea interseca el segmento ST como se muestra a continuación.
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Observe que la línea que dibujamos de R a ST es perpendicular al segmento de línea SV . Por lo tanto, la distancia más corta de S a RV es SV según nuestra propiedad de distancia más corta. Por lo tanto, debe darse el caso de que el segmento de línea RS sea más largo que el segmento de línea SV , por lo que tenemos SV < RS .
De manera similar, observe que el segmento de línea TV es perpendicular al segmento de línea RV . Por lo tanto, el segmento de línea TV es la distancia más corta desde el punto T al segmento de línea RV por la propiedad de distancia más corta, por lo que debe ser el caso que TV < RT .
Tenemos que SV < RS y TV < RT , por lo que debe darse el caso de que si agregamos SV a TV , será menor que si agregamos RS a RT , ¿verdad? En forma simbólica, tenemos SV + TV < RS + RT . Podemos reconocer por nuestra imagen que SV + TV = ST . Conectando esto a nuestra desigualdad, tenemos ST < RS + RT. Puede usar este mismo proceso exacto para deducir que esta desigualdad se cumple para cada uno de los lados del triángulo.
En otras palabras, este es el teorema de desigualdad de triángulos: la longitud de cualquier lado de un triángulo debe ser más corta que las longitudes de los otros dos lados combinados. Por lo tanto, ¡hemos demostrado por qué esta desigualdad es cierta! Simple, ¿verdad?
Resumen de la lección
Para darle un repaso rápido, el teorema de desigualdad de triángulos establece que la longitud de cualquiera de los lados de un triángulo debe ser más corta que las longitudes de los otros dos lados combinados. Ahora hemos visto cómo usar esta desigualdad para determinar si tres segmentos de recta pueden formar un triángulo. Simplemente determinamos que ninguno de los segmentos de línea es más largo que los otros dos combinados. Si este es el caso, entonces los segmentos de línea pueden formar un triángulo. Si no es así, no pueden. También hemos visto por qué la desigualdad del triángulo es verdadera; esto nos hace extremadamente cómodos lidiar con él y aplicarlo a las aplicaciones.
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