La importancia de los puntos extremos en la resolución de problemas

Definición

La optimización se usa ampliamente para encontrar el mejor resultado de un proceso o problema. Dado que los puntos extremos son parte esencial de este tipo de problemas, es importante conocer la definición de términos o componentes utilizados en los modelos de optimización que son comunes en este tema. Estos términos son:

• Variables de decisión : estos son símbolos matemáticos que se utilizan para representar cantidades físicas controladas por quien toma las decisiones. Por ejemplo, la variable de decisión x puede representar el número de automóviles fabricados por una empresa durante un cierto período y.
• Función objetivo : Esto es lo que define los criterios utilizados para evaluar una solución. Actúa como una función matemática que convierte una solución en una evaluación numérica de esa solución. Por ejemplo, una función objetivo medirá la ganancia obtenida en función de la cantidad de producto producido por una empresa. También ayuda a los tomadores de decisiones de la empresa a conocer la dirección correcta de optimización, es decir, maximizar o minimizar la producción para garantizar que la empresa no funcione con pérdidas.
• Restricciones : Son un conjunto de igualdades o desigualdades funcionales que representan restricciones económicas, físicas, tecnológicas, legales o muchas otras y ayudan a proporcionar valores numéricos que serán asignados a las variables de decisión. Por ejemplo, las restricciones ayudan a una empresa a garantizar que la entrada utilizada sea la que esté disponible y no supere el límite requerido.
• Modelo de optimización : La función objetivo (que contiene las variables de decisión) con el conjunto de restricciones define todo el modelo de optimización, que define el problema a resolver.

Un punto extremo es un punto que no forma parte de ningún punto interior o segmento subyacente en un conjunto convexo. También se define como una solución factible, que no se puede escribir como una combinación convexa de otras soluciones factibles. Una solución factible es una solución que puede satisfacer todas las restricciones en un programa lineal. Matemáticamente, un punto extremo es un punto en el espacio de solución factible que no está ubicado en ningún segmento de línea abierta que une dos puntos de la región. En problemas lineales, dicho punto extremo también es un vértice o esquina del espacio de solución factible. Es un punto óptimo potencial para resolver un problema de optimización definido por una ecuación de tipo cx , donde c es un vector de coeficientes y x es el vector de variables de decisión.

Esta ecuación se utiliza para resolver un problema de programación lineal (un problema de encontrar valores para las variables que se requieren para optimizar una función lineal). Los programas lineales son fáciles de resolver ya que su principal característica es que tienen una estructura geométrica simple. La solución de programas lineales es cualquier conjunto de valores numéricos para las variables. Los valores no tienen que ser precisos. Los puntos extremos se representan en programación lineal mediante gráficos geométricos. Es bueno notar que un punto extremo es el punto de intersección de dos o más restricciones.

Ventajas de los puntos extremos en la resolución de problemas

• Ayuda a estructurar el proceso de pensamiento: los puntos extremos ayudan al tomador de decisiones a pensar en el problema de una manera más crítica y organizada. El tomador de decisiones es capaz de conocer los factores que controla (variables de decisión) y resolver los problemas de manera organizada. Finalmente, el tomador de decisiones es capaz de definir el entorno que lo rodea (limitaciones).
• Aumenta la objetividad: como modelo matemático, los puntos extremos son más objetivos ya que todos los supuestos y criterios están claramente especificados. A pesar de que los modelos de decisión reflejan experiencias previas y sesgos de quienes los construyeron, estos sesgos pueden ser identificados por observadores externos que pueden ayudar a corregir errores cometidos anteriormente.
• Hace que los problemas complejos sean más manejables: los proyectos en las organizaciones suelen ser grandes y complejos, ya que involucran a muchos departamentos más pequeños que trabajan juntos como un solo sistema. Los puntos extremos ayudan a los tomadores de decisiones a decidir el camino a seguir fácilmente al utilizar los datos recopilados de los departamentos más pequeños, lo que facilita la resolución de problemas complejos de toda la organización.
• Hace que los problemas sean susceptibles de solución matemática y por computadora: al usar puntos extremos, un problema se representa como un modelo matemático. Esto facilita la resolución de un problema mediante el uso de soluciones matemáticas o programas informáticos para resolver estos problemas.
• Facilita perspectivas de diferentes resultados posibles si se toma una decisión: los puntos extremos hacen que sea relativamente fácil encontrar una solución óptima al analizar diferentes escenarios y sus resultados. Mediante el uso de un análisis «¿Qué pasaría si?», El modelo de puntos extremos puede ayudar a una persona de negocios a evaluar los posibles riesgos acomodando las posibilidades de las variables. Las variables utilizadas son solo estimaciones y pueden diferir en una situación real.

Si bien el uso de puntos extremos tiene sus ventajas, también existen algunas deficiencias que pueden ocurrir al usarlo como modelo de toma de decisiones. La mayor desventaja es que si la formulación real del modelo es incorrecta al principio, todo el resultado será incorrecto, lo que llevará al tomador de decisiones a tomar la decisión incorrecta. Además, dado que la mayoría de los problemas son complejos, es posible que quien tome las decisiones pueda resolver el problema por sí mismo. Algunas variables de decisión y relaciones importantes pueden quedar fuera durante el proceso de formulación, o el modelo puede no ajustarse a una situación que necesita una solución óptima.

Resumen

1. Las variables de decisión son los objetos físicos controlados por quien toma las decisiones y están representados por símbolos matemáticos.

2. Una función objetivo define los criterios que se utilizan para resolver el problema.

3. Las restricciones son las igualdades o desigualdades funcionales que representan las restricciones físicas, económicas, tecnológicas, legales, éticas o de otro tipo sobre los valores numéricos que se pueden asignar a las variables de decisión.

1. Un modelo de optimización representa los problemas esenciales de un sistema que omite los problemas sin importancia. Al analizar el modelo, el responsable de la toma de decisiones puede obtener información sobre cómo resolver el problema.

2. Un punto extremo es un punto que no forma parte de ningún punto interior o segmento subyacente en un conjunto convexo. En otras palabras, un punto extremo es un punto donde una función se encuentra en su valor extremo. Allí, se ubica estrictamente en los límites del espacio de solución factible (la colección de todas y cada una de las posibles soluciones al problema, óptima o no).

4. Los puntos extremos facilitan la evaluación de problemas complejos de una manera rápida, segura y económica. Un tomador de decisiones es capaz de estructurar el proceso de pensamiento, aumentando la objetividad y haciendo que los problemas complejos sean más manejables.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador