Álgebra de funciones de valor real: operaciones y ejemplos

Funciones de valor real

Suponga que es el director ejecutivo de una empresa exitosa y presenta los registros contables del año pasado en una reunión. Explica que los ingresos de su empresa, o el dinero que ingresa, se pueden modelar utilizando la siguiente fórmula:

R ( x ) = -0,01 x 2 + 3,5 x , donde x es el número de productos producidos y vendidos por la empresa y R está en miles de dólares.

También muestra una fórmula que puede modelar el costo de su empresa o la cantidad de dinero que sale.

C ( x ) = 0.00007 x 3 – 0.01 x 2 + 1.26 x + 84, donde x es el número de productos producidos y vendidos por la empresa y C está en miles de dólares.

En matemáticas, llamamos a estas fórmulas funciones de valor real, o más comúnmente, simplemente funciones.

Una función es una regla que relaciona una entrada con exactamente una salida. El término “es una función de” puede considerarse como “está determinado por”. Una función de valor real es una función con salidas que son números reales. Considere nuestras funciones de ingresos y costos. Tanto el costo como los ingresos están determinados por la cantidad de productos que produce y vende su empresa, por lo que el costo y los ingresos son funciones de la cantidad de productos producidos y vendidos. También son funciones de valor real porque sus salidas son números reales.

Álgebra de funciones de valor real

Sus empleados en la reunión le preguntan si puede encontrar una fórmula de cuánto dinero está ganando realmente su empresa. En otras palabras, quieren encontrar una fórmula para las ganancias de su empresa. Veamos … los ingresos equivalen a entrada de dinero y el costo es igual a la salida de dinero. ¡Ah-ja! Si restamos el costo de los ingresos, tendremos nuestra ganancia. Tenemos una fórmula para los ingresos, R ( x ) y para el costo, C ( x ). Por lo tanto, podemos encontrar una fórmula para obtener ganancias restando C ( x ) de R ( x ).

Obtenemos que P ( x ) = R ( x ) – C ( x ). Restar la función de costo de la función de ingresos de esta manera es un ejemplo de álgebra de funciones de valor real. El álgebra de funciones con valores reales implica sumar, restar, multiplicar y dividir funciones con valores reales, y las reglas para cada operación son las siguientes:

• Suma: ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x )
• Resta: ( f – g ) ( x ) = f ( x ) – g ( x )
• Multiplicación: ( f ⋅ g ) ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x )
• División: ( f / g ) ( x ) = f ( x ) / g ( x ), donde g ( x ) ≠ 0

Si está pensando que realizar estas operaciones en funciones parece ser lo mismo que realizarlas en números, ¡básicamente tiene razón! Es un poco diferente porque estamos trabajando con expresiones algebraicas en lugar de solo números.

Por ejemplo, considere nuevamente las ganancias de su empresa. Para encontrar la fórmula de ganancias, simplemente restamos su función de costo de su función de ingresos.

Obtenemos que su función de ganancia es P ( x ) = -0,00007x 3 + 2,24 x – 84. ¡Eh, este álgebra de funciones con valores reales no es tan difícil! Veamos ejemplos de cada una de las operaciones en funciones.

Ejemplos

Supongamos que tenemos las siguientes funciones:

• r ( x ) = x 2 + 4 x + 3
• s ( x ) = x + 1
• t ( x ) = 5 x – 17

Queremos encontrar r + s , s – t , s ⋅ t y r / s . Bueno, nada que hacer más que empezar, ¡así que hagámoslo! Empezaremos con r + s . Usando nuestras reglas, sabemos que ( f + g ) ( x = f ( x ) + g ( x ), por lo que solo necesitamos sumar las dos funciones.

Obtenemos que ( r + s ) ( x ) = x 2 + 5 x + 4. Pasamos a la siguiente: s – t . Nuestra regla de resta para funciones establece que ( f – g ) ( x ) = f ( x ) – g ( x ), ¡así que restemos estas funciones!

Obtenemos que ( s – t ) ( x ) = -4 x + 18. Hasta ahora, todo bien. El siguiente es s ⋅ t . Usamos nuestra regla de multiplicación para funciones que establece que ( f ⋅ g ) ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ).

Ese fue un poco más difícil ya que tuvimos que multiplicar polinomios, ¡pero lo hicimos! Tenemos que ( s ⋅ t ) ( x ) = 5 x 2 – 12 x – 17. Bien, solo uno más, y eso es r / s . Para este, usamos nuestra regla de división para funciones que establecen ( f / g ) ( x ) = f ( x ) / g ( x ), donde g ( x ) ≠ 0.

Obtenemos que ( r / s ) ( x ) = x + 3, donde x ≠ -1. Tenemos que agregar la regla adicional de que x ≠ -1, porque -1 crearía un denominador cero en la función original, ¡lo cual es un gran no-no! Al dividir funciones, siempre debemos asegurarnos de que el denominador no sea cero.

¡Eso es todo! ¡Buen trabajo!

Resumen de la lección

Una función es una regla que relaciona una entrada con exactamente una salida. El término “es una función de” puede considerarse como “está determinado por”. Una función de valor real es una función con salidas que son números reales. Considere nuestras funciones de ingresos y costos.

El álgebra de funciones con valores reales implica sumar, restar, multiplicar y dividir funciones con valores reales, y las reglas para cada operación son las siguientes:

• Suma: ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x )
• Resta: ( f – g ) ( x ) = f ( x ) – g ( x )
• Multiplicación: ( f ⋅ g ) ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x )
• División: ( f / g ) ( x ) = f ( x ) / g ( x ), donde g ( x ) ≠ 0

Cuando realizamos estas operaciones en funciones, son las mismas reglas que cuando las realizamos en números. La única diferencia es que estamos tratando con expresiones algebraicas en lugar de solo números. Estar familiarizado con el álgebra de funciones de valor real demuestra ser muy útil para analizar y resolver problemas del mundo real, ¡así que asegúrese de seguir practicando!