Aplicación de un Arbelos en la vida real

Arbelos

Todos estamos bastante familiarizados con formas comunes como cuadrados, rectángulos, triángulos y círculos, pero algunas formas son menos conocidas. Una de esas formas es el arbelos.

Un arbelos es una forma que se compone de tres semicírculos. El semicírculo más grande contiene los dos semicírculos más pequeños en su interior de tal manera que los diámetros de los dos semicírculos más pequeños suman el diámetro del semicírculo más grande. Bueno, eso fue un bocado! Eche un vistazo a la imagen de un arbelos para ayudar a aclarar su comprensión.

Bastante interesante, ¿eh? ¡Hagámoslo aún más interesante mirando el área y el perímetro de esta forma!

Área y perímetro de un Arbelos

Debido a cómo está configurado y definido, un arbelos satisface algunas propiedades bastante interesantes en lo que respecta a su perímetro y área. Para empezar, debido a que la suma de los diámetros de los semicírculos más pequeños es igual al diámetro del semicírculo más grande, resulta que el perímetro de todos los arbelos es el mismo que el perímetro del círculo más grande:

• Perímetro = 2π R = D π, donde R y D son el radio y el diámetro del semicírculo más grande, respectivamente.

De la misma manera, el área de un arbelos también es igual al área de otra parte de los arbelos. Es decir, el área de un arbelos es igual al área del círculo que tiene el diámetro PQ , donde P es el punto en el que se tocan los dos semicírculos más pequeños y Q es el punto directamente encima de P en el semicírculo más grande. .

• Área = π (| PQ | / 2) 2 = (π / 4) | PQ | 2

¡Es debido a propiedades como esta que el arbelos ha fascinado a los matemáticos durante algún tiempo!

Puede estar pensando que, dado que esta forma no es muy común, probablemente no tenga ninguna aplicación en el mundo real, ¡pero la tiene! ¡Vamos a explorar!

Aplicaciones en el mundo real

Arte

Dos áreas muy comunes en las que aparece la forma arbelos son el arte y la zapatería. Hay una escultura gigante de arbelos al costado de la carretera en los Países Bajos.

Escultura de Arbelos en Holanda

Cuando se construyó esta escultura, habrían tenido que saber cuánto material metálico se necesitaría para construirla. En otras palabras, el perímetro de los arbelos. Los diámetros de los semicírculos de esta escultura son 24,2 metros, 19,3 metros y 4,9 metros. Todo lo que los constructores habrían necesitado saber era el diámetro del semicírculo más grande (24,2 metros) para encontrar el perímetro de los arbelos.

• Perímetro = 24.2π ≈ 76.0265

Simplemente sabiendo esto, los constructores podrían haber determinado que necesitarían aproximadamente 76 metros de metal para hacer la escultura.

Zapatería

Probablemente no pensaría en un arbelos que se usa en la fabricación de calzado, pero así es como la forma obtuvo su nombre. En griego, la palabra arbelos significa ‘cuchillo de zapatero’, y esto se debe a que un cuchillo que se usa en la fabricación de calzado tiene la forma de un arbelos.

Cuando un cuchillo tiene forma de arbelos, su hoja es curva y tiene puntas afiladas en cada extremo. Estas características hacen que sea ideal para cortar y recortar cuero en ángulos muy precisos.

Suponga que una fábrica que produce estos cuchillos está programando una máquina para producir un lote de cuchillos que tienen las siguientes medidas:

• Diámetro del semicírculo más grande = 8 pulgadas
• Diámetros de los semicírculos más pequeños = 4 pulgadas cada uno

A partir de esto, podemos determinar la cantidad de metal que se usará para hacer cada cuchillo al encontrar el área del cuchillo. Dado que los diámetros de los semicírculos más pequeños son cada uno la mitad del diámetro del semicírculo más grande, estos son en realidad los radios del semicírculo más grande, por lo que donde los dos semicírculos más pequeños se tocan es el centro del círculo más grande .

Debido a esto, el segmento de línea que va desde el punto donde los semicírculos más pequeños se tocan hasta el punto directamente encima de él en el semicírculo más grande también debe ser el radio del círculo más grande, por lo que también debe tener una longitud de 4 pulgadas.

Sabemos que el área del cuchillo es igual al área del círculo con diámetro PQ , y sabemos que PQ tiene una longitud de 4 pulgadas. Así, el área del cuchillo es la siguiente:

• Área = (π / 4) (4) 2 = (π / 4) (16) = 4π ≈ 12.57

Obtenemos que el área del cuchillo, o la cantidad de metal utilizada para hacer el cuchillo, es de 12.57 pulgadas cuadradas.

Resumen de la lección

Un arbelos se compone de tres semicírculos. El semicírculo más grande contiene los dos semicírculos más pequeños en su interior, de modo que los diámetros de los dos semicírculos más pequeños suman el diámetro del semicírculo más grande.

Podemos encontrar el área y el perímetro de un arbelos usando las siguientes fórmulas:

• Perímetro = D π, donde D es el diámetro del semicírculo más grande.
• Área = (π / 4) | PQ | 2 , donde P es el punto donde los dos semicírculos más pequeños se tocan, y Q es el punto directamente encima de P en el semicírculo más grande.

Aunque el arbelos es una forma menos conocida, todavía aparece en el mundo real y en aplicaciones del mundo real, lo que lo convierte en una forma brillante e interesante que intriga tanto a matemáticos como a no matemáticos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador