Cálculo de derivadas de funciones trigonométricas

La derivada del movimiento perpetuo

La derivada de sin (x) es igual a cos (x), lo que hace que las gráficas se vean similares.

Siempre me ha fascinado el movimiento perpetuo. Me ha fascinado tanto que intenté hacer mi propia máquina de movimiento perpetuo. Tomé un peso y lo até a un resorte. Le di un pequeño empujón al peso y vi cómo el peso rebotaba hacia arriba y hacia abajo. A continuación se muestra un gráfico de su altura a lo largo del tiempo. Ahora, lo que me gustaría hacer con esta información es averiguar exactamente qué tan rápido se mueve mi peso en función del tiempo.

Gráfico de la altura del peso a lo largo del tiempo

Para hacer eso, voy a intentar encontrar la derivada de la altura en función del tiempo, porque la derivada es la tasa de cambio. Para usar la definición matemática de la derivada, primero asumiré que el peso anterior tiene un movimiento como sin ( t ) . Entonces, si miras la altura en función del tiempo, realmente se ve como una onda sinusoidal.

Ahora, calculemos la derivada. Formalmente, la derivada, dh / dt (el cambio de altura en función del tiempo), es igual al límite cuando delta t llega a cero de ( h ( t + delta t ) – h (t) ) / delta t . Si h ( t ) = sin ( t ) , conectemos eso. Ahora tenemos dh / dt = el límite cuando delta t va a cero de (sin ( t + delta t ) – sin ( t )) / delta t . Esto parece realmente complejo, así que retrocedamos un segundo.

La derivada de cos (x) es -sin (x).

Funciones trigonométricas en derivadas

Sabemos que la derivada es la pendiente de una recta. Si grafica sin ( x ), podría entrar y calcular la pendiente de la tangente en varios puntos del gráfico. Por ejemplo, en 0, puedo dibujar la tangente y calcular la pendiente de esa tangente, y es igual a 1. En pi / 2, la pendiente es 0. Si grafica la tangente de pi , encuentro que la pendiente es – 1. A 3 pi / 2, nuevamente la pendiente es 0, y a 2 pi la pendiente es 1. Este patrón continuará porque sin ( x ) se repite. Entonces, ¿qué nos da esto? Grafiquemos estos puntos:

La derivada de sin (x) es igual a cos (x).

Tal vez no sea difícil ver que la pendiente de la tangente de sin ( x ) en realidad también parece una onda sinusoidal pero desplazada. Específicamente, este gráfico se parece a cos ( x ). De hecho, la derivada de sin ( x ) es igual a cos ( x ). Puede mostrar esto desde la definición formal, pero debe usar muchas identidades trigonométricas. Entonces, este es realmente uno de esos derivados que debes memorizar.

De manera similar, puede graficar cos ( x ) y observar la pendiente de cos ( x ). Entonces, grafiquemos la pendiente de la tangente de cos ( x ). Comienza como 0, y luego la tangente se vuelve negativa, y en pi / 2, es -1. Entonces, la pendiente de la tangente comienza a aumentar lentamente, pero sigue siendo negativa y es 0 en pi . A 3 pi / 2, la pendiente es 1 y a 2 pi , la pendiente es nuevamente 0. Esta gráfica, que se ve a continuación, se parece a sin ( x ) pero negativa. Entonces, la segunda derivada trigonométrica que debe saber es que la derivada del cos ( x ) es igual a -sin ( x ). Puede hacer esto para broncearse ( x) o para cualquiera de las otras funciones trigonométricas.

La derivada de cos (x) es igual a -sin (x).

La clave aquí es memorizar las tres derivadas trigonométricas primarias. Debe saber que la derivada de sin ( x ) = cos ( x ), la derivada de cos ( x ) = -sin ( x ) y la derivada de tan ( x ) = sec ^ 2 ( x ). La forma más fácil de memorizarlos es graficarlos. Esto ayudará a activar su memoria. Hay un montón de otras derivadas trigonométricas que podrías memorizar, pero todas provienen de estas tres derivadas primarias.

Ejemplos de derivados

Hagamos un ejemplo. Digamos que tienes f (x) = 3sin ( x ) + cos ( x ). Recuerda que puedes dividir y conquistar usando las propiedades lineales de las derivadas, y puedes decir que d / dx f (x) = 3 d / dx (sin ( x )) + d / dx (cos ( x )). Si usa las reglas para las derivadas de funciones trigonométricas, puede insertar que la derivada de sin ( x ) = cos ( x ) y que la derivada de cos ( x ) = -sin ( x ). Entonces, tienes 3cos ( x ) + -sin ( x ). Puedes simplificar eso a 3cos ( x) – sin ( x ).

Veamos un segundo ejemplo. Veamos la función f (x) = (1/2) tan ( x ) – sin ( x ) entre – pi / 2 < x < pi / 2. Ahora, si grafica esto, obtengo una función que comienza en negativo, aumenta, se vuelve positiva por un momento, vuelve al origen, se vuelve negativa y luego continúa aumentando.

Gráfico correspondiente al problema de ejemplo final

¿Cuál es la derivada de f (x) ? Bueno, nuevamente usando nuestras reglas de derivadas para funciones trigonométricas y propiedades lineales de derivadas, sé que la derivada de f (x) = (1/2) sec ^ 2 ( x ) – cos ( x ). Si grafica esto, veo a continuación que la derivada comienza positiva, se vuelve negativa por un tiempo y luego se vuelve positiva nuevamente. Esto tiene sentido. Si miro f (x) , la tangente de f (x) es positiva. Se vuelve negativo alrededor de x = 0 antes de volverse positivo nuevamente para valores más grandes de x . Entonces, esto tiene sentido.

La tangente de f (x) es positiva, luego se vuelve negativa alrededor de x = 0 antes de volverse positiva nuevamente.

Resumen de la lección

Entonces, ¿cuáles son las claves para las derivadas de las funciones trigonométricas? Solo hay tres funciones trigonométricas en las que realmente debería centrarse:

• d / dx sin ( x ) = cos ( x )
• d / dx cos ( x ) = -sin ( x )
• d / dx tan ( x ) = sec ^ 2 ( x )

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección en video, debería poder:

• Identificar tres funciones trigonométricas primarias
• Graficar funciones trigonométricas usando las propiedades de las derivadas