Cómo calcular derivadas de funciones trigonométricas inversas

Revisión de las funciones de activación básicas

Me encantan las funciones trigonométricas, como los senos y cosenos. Me encantan porque repiten, son muy predecibles y, francamente, son bonitos gráficos. Pero uno de mis mayores problemas con las funciones trigonométricas es que es muy difícil resolver la inversa.

Digamos que tengo la función y = cos ( x ), y quiero saber, entre cero y pi , qué valor de x me va a dar una y de 1/2. Entonces quiero saber cuál es el valor de x aquí. Bueno, para hacer eso, necesito usar la función trigonométrica inversa. Entonces, en este caso, tengo x = cos ( y ) y esta gráfica es la inversa de la anterior. Puedo escribirlo como y = cos ^ -1 ( x ). Ahora cos ^ -1 no es 1 / coseno, pero es el arcocoseno . Es una función totalmente diferente. Eso es genial. Ahora solo miro x = 0.5, y puedo encontrar qué valor de y está ahí y resolver este problema.

Bien, resolví ese problema, pero ¿qué hay de tomar la derivada de esta función? Sé que si solo tengo cos ( x ), puedo encontrar la derivada muy fácilmente. La derivada de cos ( x ) es simplemente -sin ( x ), entonces esa es la pendiente de la tangente aquí. Pero, ¿qué pasa con la pendiente de la tangente del arcocoseno de x ? Entonces, si y = cos ^ -1 ( x ), ¿cuál es y ‘?

Reglas de las funciones de activación inversa

En el ejemplo # 1, simplifique multiplicando 4x ^ 2 y moviendo el 4 encima de la fracción

Bueno, aquí hay tres fórmulas derivadas más para que las recuerde. Para y = cos ^ -1 ( x ), y` = -1 / la raíz cuadrada de (1 – x ^ 2), siempre que el valor absoluto de x sea ​​menor que 1. Si y = sin ^ -1 ( x ), y` = 1 / la raíz cuadrada de (1 – x ^ 2), nuevamente, siempre que | x | <1. Para y = tan ^ -1 ( x ), y` = 1 / (1 + x ^ 2).

Ejemplo 1

Hagamos un ejemplo. Digamos que f (x) = cos ^ -1 (4 x ). Entonces f` ( x ) es la derivada, d / dx , de cos ^ -1 (4 x ). Ahora bien, este ejemplo es un poco más complicado de lo que parece al principio. Voy a llamar a 4 x u por un segundo, porque sé que tengo paréntesis aquí y voy a tener que usar la regla de la cadena. Voy a escribir esto como d / dx de cos ^ -1 ( u ). Usando la regla de la cadena, primero encontraré la derivada de cos ^ -1 ( u ). Eso es -1 / la raíz cuadrada de (1 – u^ 2) porque esa es la regla que acabamos de aprender. Voy a multiplicar todo eso por la derivada de lo que está dentro del paréntesis usando la regla de la cadena; eso es du / dx . Bien, me deshice de mis paréntesis. Reemplacemos 4 x para u , por lo que obtenemos -1 / la raíz cuadrada de (1 – 4 x ^ 2), todos los tiempos d / dx de 4 x . Bueno, d / dx de 4 x es solo 4, y puedo simplificar todo esto multiplicando este 4 x ^ 2 y moviendo el 4 encima de esta fracción. Obtengo f` (x) = -4 / la raíz cuadrada de ( 1-16 x^ 2). Hmm. No es exactamente lo que esperaba, pero todo se debe a que usé la regla de la cadena aquí.

El proceso de resolución del ejemplo # 2

Ejemplo # 2

Hagamos otro ejemplo. Digamos que f (x) = sin ^ -1 ( x ^ 2). Bueno, veo estos paréntesis, así que de nuevo ya estoy pensando en la regla de la cadena. f` (x) = d / dx (sin ^ -1 ( x ^ 2)). Pero volveré a usar u en lugar de x ^ 2, solo para que quede claro aquí. Entonces, la derivada con respecto a x de sin ^ -1 ( u ) es 1 / la raíz cuadrada de (1 – u ^ 2) du / dx , esa es la regla de la cadena. Tengo la derivada del exterior por la derivada del interior. Ahora voy a conectar x ^ 2 para u ; Obtengo 1 / la raíz cuadrada de (1 – x^ 2), eso es u , todo al cuadrado, multiplicado por d / dx de x ^ 2. Esto no es tan malo. Encontremos este d / dx de x ^ 2. Recuerdo que eso es solo 2 x , entonces tengo 1 / la raíz cuadrada de (1 – ( x ^ 2)) ^ 2 * 2 x . Bueno, puedo simplificar todo esto y encontrar que f` (x) = 2 x / la raíz cuadrada de (1- x ^ 4).

Ejemplo # 3

Hagamos otro ejemplo. Digamos que esta vez tengo f (x) = (tan ^ -1 ( x )) ^ 2. De acuerdo, muchos paréntesis aquí, más reglas de cadena. Entonces f` (x) = d / dx (tan ^ -1 ( x )) ^ 2. Voy a llamar a tan ^ -1 ( x ) u por un segundo. Entonces voy a escribir esto como d / dx de u ^ 2. Eso parece mucho más simple. Eso es solo 2 u * du / dx . Bien, fantástico. Ahora solo conecto tan ^ -1 para u . Entonces tengo 2tan ^ -1 ( x ) * d / dx * (tan ^ -1 ( x )). Bueno, déjame usar la regla que acabo de aprender para este d / dxde tan ^ -1. Entonces encuentro que mi f` (x) = 2tan ^ -1 ( x ) (1 / ( x ^ 2 + 1)). Esto se simplifica af` (x) = (2tan ^ -1 ( x )) / ( x ^ 2 + 1).

Los pasos para resolver el ejemplo n. ° 3

Resumen de la lección

Así que repasemos. Si y = sin ^ -1 ( x ), es como escribir x = sin ( y ). Podemos encontrar la derivada de este y = sin ^ -1 ( x ) simplemente usando esta fórmula: y` (la derivada) = 1 / la raíz cuadrada de (1 – x ^ 2). De manera similar para cos ^ -1 ( x ), la derivada es -1 / la raíz cuadrada de (1 – x ^ 2). Para tan ^ -1 ( x ), es 1 / ( x ^ 2 + 1).