Revisión rápida de cálculo
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Revisemos. Si usted quiere encontrar una integral definida de f (x) de x = a a x = b , es necesario encontrar la antiderivada de f (x) evaluada en B y un y tomar la diferencia, F (b) – F (a) .
Primer ejemplo: e ^ x
¿Qué pasa si su función es f (x) = e ^ x . ¿Cuál es la integral de e ^ x dx ? Recuerda que e ^ x es la exponencial, algún número e (aproximadamente 2.7), elevado a la potencia x . Si toma la derivada de e ^ x , obtiene e ^ x . Es una de esas funciones que, no importa cuántas veces tome la derivada, aún obtiene e ^ x . Entonces tiene mucho sentido que la integral de e ^ x dx no sea más quee ^ x + alguna constante, C . Si toma la derivada de e ^ x + C , termina con e ^ x , porque la derivada de C se vuelve cero.
Así que hagamos un ejemplo. Calculemos la derivada de e ^ x de x = -1 ax = 1. Vamos a usar el teorema fundamental del cálculo, que dice que necesito conocer la anti-derivada de e ^ x y evaluarla de -1 a 1. Esa anti-derivada es solo e ^ x , porque la derivada de e ^ x es e ^ x . Entonces, e ^ x evaluado de -1 a 1 es e ^ 1 – e ^ (- 1). Eso es lo mismo que e – 1 / e, porque e ^ (- 1) es lo mismo que 1 / e .
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Segundo ejemplo: cos (x) – e ^ x
¿Qué tal un ejemplo un poco más difícil? Digamos f (x) = cos ( x ) – e ^ x . Aquí, estoy tratando de encontrar el área debajo de la curva, que es positiva cuando está por encima del eje x y negativa cuando está debajo del eje x . Y quiero evaluar esta integral de -2 pi a 0. Entonces -2 pi a 0 de cos ( x ) – e ^ x dx . Mi primer paso es dividir esto en dos integrales, así que voy a usar una de mis propiedades de las integrales para decir que esto es igual a la integral de -2 pi a 0 de cos ( x ) dx menos la integral de 2pi a 0 de e ^ x dx . Veamos este primer término. Recuerda que la integral de cos ( x ) dx = sin ( x ) + C , porque si tomo la derivada de sin ( x ), obtengo cos ( x ). Así que usemos esta anti-derivada, sin ( x ), y evaluémosla de -2 pi a 0. Tengo sin (0), que es mi límite superior, así que eso es primero, menos sin (-2 pi ). Bueno, sin (0) – sin (-2 pi ) es 0-0, lo cual es muy emocionante porque es cero.
Veamos el segundo término. El segundo término es la integral de -2 pi a 0 de e ^ x dx . ¿Cuál es la anti-derivada de e ^ x ? Es solo e ^ x . Así que conectemos eso y evaluémoslo de -2 pi a 0: e ^ 0 – e ^ (- 2 pi ). Bueno, e ^ 0 es solo 1, porque cualquier constante a la potencia cero es 1, y e ^ (- 2 pi ) es solo 1 / e ^ (2 pi ). Todo mi segundo término se convierte en 1 – 1 / e ^ (2 pi). Muy bien, sumemos estos dos términos. Obtengo la integral de -2 pi a 0 de cos ( x ) – e ^ x dx = 1 / ( e ^ 2 pi ) – 1.
CPU: Definición, funciones y piezas
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Resumen de la lección
Revisemos. Cada vez que veas e ^ x , deberías saltar de alegría, porque si tomas la derivada de e ^ x , obtienes e ^ x . Si se toma una integral indefinida, es decir, uno sin límites, de e ^ x dx , que es igual a e ^ x + una constante de integración, C .
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