Cómo resolver sistemas lineales usando eliminación gaussiana

Sistemas lineales

En matemáticas, nos encontramos con ecuaciones por sí mismas con una sola variable que tenemos que resolver. Y luego tenemos sistemas lineales , una colección de ecuaciones lineales. Tus ecuaciones lineales son ecuaciones con variables que no tienen exponentes. Entonces, 3 x + 4 x = 5 es un ejemplo de una ecuación lineal, al igual que x + 3 y – 4 z = 3.

Necesitamos una ecuación para cada variable en nuestro sistema a fin de resolver el sistema. Entonces, si tenemos dos variables, necesitamos dos ecuaciones. Si tenemos tres variables, entonces necesitamos tres ecuaciones y así sucesivamente. En esta lección en video, aprenderemos sobre el uso de la eliminación gaussiana , un método para resolver un sistema de ecuaciones, para ayudarnos a resolver nuestro sistema lineal. Este método requiere que sepamos cómo convertir nuestro sistema lineal en forma de matriz y luego usar manipulaciones matriciales simples. Veamos cómo resolver este sistema lineal usando la eliminación gaussiana:

Matriz aumentada

Recuerde que una matriz es simplemente una matriz rectangular de valores colocados en filas y columnas. Primero necesitamos convertir nuestro sistema lineal en forma de matriz convirtiéndolo en una matriz aumentada. Una matriz aumentada es la combinación de dos matrices. En nuestro caso, tenemos una matriz para los coeficientes del lado izquierdo de la ecuación y otra para el lado derecho de la ecuación.

Recuerde que convertir un sistema de ecuaciones en forma matricial implica aislar solo los coeficientes junto con sus signos apropiados después de organizarlos de manera que el término x sea ​​seguido primero por el término y seguido por el término z , el signo igual y luego la constante. Podemos usar una línea vertical, o varios puntos en una línea vertical, para representar nuestro signo igual. Nuestro sistema lineal ya está organizado correctamente, por lo que todo lo que tenemos que hacer es aislar nuestros coeficientes. Nuestra primera fila tendrá 1, 1, 1, | y luego 5. Nuestra segunda fila tiene 2, 0, -1, | y 4. Nuestra tercera fila tiene 0, 3, 1, | y 2. Nuestra matriz se ve así:

Eliminación gaussiana

Ahora podemos usar la eliminación gaussiana para ayudarnos a resolver este sistema lineal. La eliminación gaussiana se trata de manipular la matriz aumentada hasta que tengamos la matriz que representa el lado izquierdo de las ecuaciones en forma triangular superior . Lo que esto significa es que queremos todos los ceros debajo de la diagonal principal. Esta diagonal principal comienza en la parte superior izquierda y termina en la parte inferior derecha de la matriz de coeficientes. En otras palabras, queremos manipular la matriz de modo que el 2 en la segunda fila y el 0 y 3 en la tercera fila sean todos 0.

Para cambiar estos números a ceros, usaremos nuestras operaciones de fila de matriz. Para convertir nuestro primer 2 en un 0, multiplicamos nuestra primera fila por -2 y luego la agregamos a la segunda fila para crear una nueva segunda fila. Obtenemos una nueva segunda fila de 0, -2, -3, | y -6. Ahora, para cambiar el 3 en la tercera fila en un 0, usaremos esta nueva segunda fila combinada con la tercera fila. Multiplicaremos la segunda fila por 3 y la sumaremos a la tercera fila multiplicada por 2. Obtenemos una nueva tercera fila de 0, 0, -7, | y -14.

No reescribimos la primera fila porque no necesitamos cambiar esa ecuación. Solo multiplicamos la primera fila por 3 para poder restarla de la segunda fila. Recuerde que en álgebra, siempre que multiplicamos una ecuación por cualquier constante, la ecuación no cambia en absoluto; los números simplemente aumentan en un factor.

Ahora que tenemos ceros debajo de la diagonal principal, terminamos con la eliminación de Gauss. Ahora podemos continuar y resolver nuestro sistema lineal.

Resolviendo el sistema

Observe lo fácil que es resolverlo ahora. Si escribimos nuestras ecuaciones lineales, obtenemos x + y + z = 5, -2 y – 3 z = -6 y -7 z = -14. Podemos resolver inmediatamente la tercera ecuación para z para obtener z = -14 / -7 = 2. Luego podemos sustituir este valor por z en la segunda ecuación para resolver la siguiente variable, y . Obtenemos -2 y – 3 (2) = -6. Esto se convierte en -2 y – 6 = -6. Para resolver para y , sumamos 6 a ambos lados y obtenemos -2 y = 0. Dividiendo ambos lados por -2, obtenemos y= 0. Entonces ahora tenemos y = 0 y z = 2. Para resolver nuestra última variable, x , podemos usar nuestra primera ecuación. Reemplazando estos dos valores, obtenemos x + 0 + 2 = 5. Resolviendo esto para x , obtenemos x = 3. Entonces, nuestra respuesta final es x = 3, y = 0 y z = 2. También podemos escribir esto en forma de puntos, así: (3, 0, 2).

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido. Aprendimos que los sistemas lineales son colecciones de ecuaciones lineales. Un sistema lineal tiene la misma cantidad de ecuaciones que de variables, ya que necesitamos una ecuación para cada variable a fin de resolver dicho sistema de ecuaciones. El método del que hablamos en esta lección utiliza la eliminación gaussiana , un método para resolver un sistema de ecuaciones, que implica manipular una matriz para que todas las entradas por debajo de la diagonal principal sean cero. La forma triangular superior es el término que se usa para describir una matriz que tiene todos ceros debajo de la diagonal principal. Luego usamos álgebra y sustitución para terminar de resolver nuestro sistema de ecuaciones.

Los resultados del aprendizaje

Completar esta lección puede prepararlo para:

• Recitar las definiciones de sistemas lineales, matriz aumentada y forma triangular superior
• Demostrar el uso del método de eliminación gaussiano para resolver un sistema de ecuaciones.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador