Concepto de función objetiva y ejemplos

¿Qué es una función objetivo?

Muchos objetivos en los negocios u otras áreas de la vida se reducen en última instancia a buscar el mejor resultado posible dadas las circunstancias actuales. Muy a menudo, el resultado ideal es cuando alguna cantidad es lo más grande o pequeña posible, por ejemplo, las empresas buscan maximizar sus ganancias y minimizar sus costos. Los problemas prácticos de optimización como estos se pueden resolver matemáticamente utilizando el concepto de función objetivo .

Una función objetivo es simplemente una fórmula que calcula la cantidad a optimizar. La fórmula incluirá una serie de variables de entrada que representan cantidades que puede establecer la empresa u otra parte controladora. La tarea es determinar el valor de estas entradas que darán el valor máximo o mínimo de la función objetivo. Por ejemplo, la ganancia obtenida por un fabricante de dos productos dependerá de la cantidad de cada uno que produzca, y los gerentes establecerán objetivos de producción que conduzcan a la mayor ganancia posible.

El mismo enfoque que se puede usar para maximizar las ganancias o minimizar los costos en función de los niveles de producción se puede aplicar a otros escenarios del mundo real. Otros objetivos que las empresas podrían intentar minimizar son los niveles de contaminación y el riesgo de una cartera de inversiones. Las personas pueden buscar maximizar el espacio de almacenamiento o el tiempo libre. Todos estos objetivos son alcanzables una vez que se ha escrito una fórmula objetiva.

Definición de función objetivo

Una función objetivo es una fórmula que involucra una o más variables de decisión , denominadas {eq}x_1, x_2,\ldots x_n {/eq}, que se optimizará determinando los valores apropiados de esas variables. Cuando el objetivo es costo, utilidad, ingreso o muchas otras cantidades prácticas, la función objetivo tiene la siguiente forma lineal :

$$f(x_1, x_2,\ldots x_n) = c_1x_1 + c_2x_2 + \ldots c_nx_n = \displaystyle \sum_{i=1}^n c_ix_i $$

Los coeficientes {eq}c_1, c_2,\ldots c_n {/eq} representan el coste o beneficio (u otro valor) por unidad del tipo correspondiente. La expresión de la derecha utiliza la notación de suma como forma abreviada de la suma de todos los términos de la forma {eq}c_ix_i {/eq}. La letra griega {eq}\Sigma {/eq} («sigma») es el símbolo de «suma», y la suma abarca todos los términos desde el primero hasta el último.

Cómo escribir una función objetiva

Resolver un problema de optimización utilizando una función objetivo comienza con los siguientes pasos:

1. Identificar las variables de decisión desconocidas que afectan el valor del objetivo. Para problemas que involucran ganancias, costos e ingresos, las variables de decisión suelen ser los niveles de producción de diferentes productos. Otros problemas pueden requerir decidir los niveles de otros tipos de cantidades.
2. A partir de información conocida o dada, determine el coeficiente para cada variable de decisión. Estos valores se expresan por unidad.
3. Escriba la función objetivo lineal en la forma definida anteriormente.
4. Los problemas de optimización a menudo implican restricciones , como materiales o personal limitados, que restringen las opciones de las variables de decisión. Cada restricción se puede expresar como una desigualdad lineal.
5. Las restricciones determinan una región factible para las variables de decisión. La elección óptima se puede identificar mediante programación lineal , que se puede realizar manualmente o con la ayuda de tecnología, como Solver de Excel.

Ejemplos de funciones objetivas

Ejemplo 1

• Un fabricante de ropa obtiene una ganancia de $10 en una camiseta y $15 en un suéter. Producir una camiseta requiere 2 minutos en la cortadora y 1 minuto en la máquina de coser, mientras que un suéter requiere 2 minutos de corte y 4 minutos de costura. ¿Cuántas camisetas y suéteres se deben producir por hora para maximizar las ganancias?

Las variables de decisión son el número {eq}x {/eq} de camisetas y el número {eq}y {/eq} de suéteres a producir por hora.

El fabricante gana $10 por camiseta, por lo que el total ganado con este tipo de producto si se fabrican {eq}x {/eq} es {eq}10 x {/eq}. De manera similar, una ganancia de $15 por suéter en {eq}y {/eq} unidades producidas es un total de {eq}15 y {/eq}.

La función objetivo es el beneficio total, en ambos tipos de productos:

$$f(x,y) = 10x + 15y $$

Dado que {eq}x {/eq} y {eq}y {/eq} cuentan prendas de vestir, podemos asumir las restricciones implícitas {eq}x,y \geq 0 {/eq}. El número máximo de artículos que se pueden producir también está limitado por el tiempo disponible en las máquinas de corte y costura. Durante un período de una hora, es decir, 60 minutos, si {eq}x {/eq} camisetas y {eq}y{/eq} suéteres ocupan 2 minutos cada uno en la máquina de corte, el tiempo total que la máquina está funcionando es

$$2x + 2y \leq 60 $$

De manera similar, dado que las camisetas tardan 1 minuto y los suéteres 4 minutos en la máquina de coser, el tiempo total que esta máquina está funcionando por hora es

$$x + 4y \leq 60 $$

El problema de optimización se puede replantear en su totalidad de la siguiente manera:

$$\mathrm{maximizar} \ \ \ \ \ f(x,y)=10x+15y \ \ \ \ \ \mathrm{sujeto \ a} \ \ \ \ \ \begin{casos} x, y\geq 0 \\ 2x + 2y \leq 60 \\ x + 4y \leq 60 \end{casos} $$

Las cuatro restricciones describen un rango factible de opciones para las variables {eq}x {/eq} y {eq}y {/eq} en el plano cartesiano, que se muestra en la figura 1. De acuerdo con el método de programación lineal, el máximo ( y mínimo) la ganancia debe ocurrir en una esquina o vértice de esta región. Hay tres opciones:

• producir el número máximo de 30 camisetas y 0 suéteres,
• producir el número máximo de 15 suéteres y 0 camisetas,
• produciendo algo de ambos: 20 camisetas y 10 suéteres.

Calcular el beneficio de cada una de estas opciones muestra:

$$f(30,0)=\$300 \qquad \ f(0,15)=\$225 \qquad \ f(20,10)=\$350 $$

La tercera opción produce el mejor resultado, por lo que se obtiene la máxima ganancia si se producen 20 camisetas y 10 suéteres por hora.

Ejemplo 2

• Un bufete de abogados está reuniendo un equipo de pasantes y asociados junior para revisar documentos. Un pasante puede revisar 5 documentos por día y un asociado puede revisar 10 por día. La firma espera que se revisen al menos 100 documentos por día. Al menos 6 de los pasantes más nuevos de la firma se asignarán a este proyecto y también se asignarán al menos 5 asociados experimentados. Si a los pasantes se les paga $20/hora y a los asociados $35/hora, ¿cuántos de cada uno se deben asignar al equipo?

Las variables de decisión son el número de becarios y asociados {eq}x {/eq} y {eq}y {/eq}. La función objetivo es el costo total por hora para contratar tantos empleados de cada tipo, que es

$$f(x,y) = 20x + 35y $$

Si los becarios pueden revisar 5 documentos y los asociados revisan 10, el total que pueden revisar por día es {eq}5x +10y {/eq}, y esto debe superar los 100 documentos. Las restricciones implícitas de que {eq}x,y\geq 0 {/eq} se reemplazan en este caso por las cuotas mínimas que se han establecido para el número de becarios y asociados. El problema de optimización ahora se puede expresar en su totalidad de la siguiente manera:

$$\mathrm{maximizar} \ \ \ \ \ f(x,y)=20x + 35y \ \ \ \ \ \mathrm{sujeto \ a} \ \ \ \ \ \begin{casos} 5x +10y \geq 100 \\ x \geq 6 \\ y \geq 5 \end{casos} $$

La región factible de opciones es ilimitada, como se muestra en la figura 2, pero todavía tiene dos vértices donde se puede alcanzar el costo mínimo. Las opciones son:

• contratación de 6 pasantes y 7 asociados, o
• contratación de 10 pasantes y 5 asociados.

Calcular el costo de cada una de estas opciones muestra:

$$f(6,7)=\$365 \qquad\f(10,5)=\$375 $$

La primera opción resulta ser un poco más barata que la segunda.

Resumen de la lección

Los problemas de optimización , como maximizar los ingresos y las ganancias o minimizar los costos y las pérdidas, se pueden resolver mediante funciones objetivo . Una función objetivo es una fórmula que calcula la cantidad a optimizar en términos de ciertas variables de decisión que se pueden elegir para alcanzar el máximo o mínimo deseado. Por ejemplo, la ganancia de una empresa se determina a partir de sus ingresos por cantidades de producto, menos los costos del negocio. Las funciones objetivas se pueden definir para resolver muchos tipos de problemas prácticos fuera del negocio y que involucran muchas variables.

Muchas funciones objetivas, incluidas las pérdidas y ganancias, los ingresos y los costos, son funciones lineales . Los problemas de optimización a menudo implican restricciones adicionales que deben satisfacerse, como limitaciones presupuestarias o límites de recursos humanos o materiales, que también son lineales. Estos problemas se pueden resolver mediante programación lineal . Los valores óptimos de la función objetivo ocurren en los vértices de la región factible que satisface todas las restricciones requeridas.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador