Cuándo usar la regla del cociente para la diferenciación

Introducción a la regla del cociente

La regla del cociente es la última de las reglas principales para calcular derivadas, y se ocupa principalmente de lo que sucede si tiene una función dividida por otra función y desea obtener la derivada de esa. Entonces, comencemos con f (x) = x / x ^ 2. ¿Cuál es la derivada de f (x) ? ¿Es solo la parte superior? ¿Es el fondo? ¿Es la derivada de la parte superior multiplicada por la derivada de la parte inferior? ¿Qué es? Bueno, podrías simplificar esto en 1 / x , y luego f` (x) sería -1 / x ^ 2, porque 1 / x es lo mismo que x^ -1. Entonces usamos nuestra regla de poder. Pero, ¿hay alguna manera de encontrar eso sin simplificar? No podrás simplificar en todos los casos. Piense en sin ( x ) / x , o ( x ^ 2 + ln ( x )) / cos ( x ). ¿Y esos casos? Necesitas conocer la regla del cociente.

Usando la regla del cociente en el ejemplo # 1

Comprensión de la regla del cociente

Digamos que tiene y = u / v , donde tanto u como v dependen de x . Entonces desea encontrar dy / dx o d / dx ( u / v ). Hay dos formas de encontrar eso. Una es usar la regla de la potencia, luego la regla del producto y luego la regla de la cadena. Primero, redefine u / v como uv ^ -1. Entonces vas a diferenciar; y` es la derivada de uv ^ -1. Debe utilizar la regla del producto. Entonces tienes y` = u ( d / dx )v ^ -1 + v ^ -1 ( d / dx ) u . Entonces necesitamos usar la regla de la cadena para diferenciar v ^ -1, entonces y` = u (-1 (1 / v ^ 2) v` ) + ( v ^ -1) u` . Puedo reescribir esto como y` = ( u` / v ) – ( uv` / v ^ 2). Puedo juntar todo esto multiplicando el término de la izquierda por ( v / v ), por lo que y` termina siendo ( vu` – uv` ) / v^ 2. Y eso es lo que sucede si intentas usar la regla de potencia, la regla del producto y la regla de la cadena para diferenciar u / v.

La segunda forma de diferenciar u / v es usar la regla del cociente, que tiene este pequeño y agradable tintineo: Low d hi ​​minus hi d low, en todo el cuadrado de lo que está debajo. Aquí, u es el alto y v es el bajo, entonces y` = ( vu` – uv` ) / v ^ 2, y terminas con la misma ecuación para y` . Entonces, si puedes recordar este jingle, este es definitivamente el camino a seguir.

Diferenciar usando la regla del cociente en el ejemplo 2

Ejemplos de reglas de cociente

Usemos esto para nuestro ejemplo: x / x ^ 2. x es mi máximo y x ^ 2 es mi mínimo. Entonces ( x ^ 2 ( d / dx ) x – x ( d / dx ) x ^ 2) / ( x ^ 2) ^ 2. Bueno, la derivada de x con respecto a x es solo 1, y la derivada de x ^ 2 con respecto a x es 2 x . Si conecto todo esto y simplifico, obtengo – x ^ 2 / x ^ 4, o -1 / x ^ 2, que es exactamente lo que tenía antes.

Usemos esto para un caso un poco más complejo: y = 3 x / ( x + x ^ 2). y` = (( x + x ^ 2) (3) – (3 x ) (1 + 2 x )) / ( x + x ^ 2) ^ 2. Puedo simplificar esto expandiendo estos dos términos y cancelando estos 3 x s.

Eso no fue tan malo, pero ¿qué pasa con algo como f (x) = (( x + x ^ 3) ^ 2) / sin (4 x )? Aquí voy a hacer algo un poco diferente y escribir exactamente cuáles son los mínimos y máximos.

El problema del ejemplo final

x x x x x x x f` (x) x x x x x x x x

Resumen de la lección

Revisemos. Desea usar la regla del cociente cuando tiene una función dividida por otra función y está tomando la derivada de eso, como u / v . Y puedes recordar la regla del cociente recordando este pequeño tintineo: Lo d hi ​​minus hi d low, en todo el cuadrado de lo que está debajo.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador