Definición de variables aleatorias
Los procesos aleatorios son una parte inherente de nuestro mundo. Piense en lanzar una moneda. Dado que el proceso es aleatorio por su propia naturaleza, no hay forma de determinar el resultado de un futuro lanzamiento de moneda. Sin embargo, podemos asignar probabilidades a eventos futuros de procesos aleatorios. La construcción matemática que utilizamos para lograr este objetivo se llama variable aleatoria.
En esta lección, aprenderá sobre el tratamiento matemático de procesos aleatorios y cómo encontrar e interpretar el valor esperado de una variable aleatoria continua.
Las variables aleatorias designan los posibles resultados de procesos aleatorios. Vienen en dos tipos: discretos y continuos. Una variable aleatoria discreta está asociada con procesos como lanzar un dado y lanzar una moneda, en los que hay un número contable de resultados.
Por ejemplo, podemos definir una variable aleatoria, Z , asociada con lanzar dos dados de 8 caras, de la siguiente manera:
¿Qué es la Retribución Variable?
 |
La variable aleatoria puede tomar los valores mostrados porque el resultado más bajo posible es sacar un 1 en ambos dados, mientras que el resultado más alto posible es sacar un 8 en ambos dados.
Por otro lado, una variable aleatoria continua involucra procesos como la medición de la altura y el peso, en los que existe un espectro infinito de posibles resultados. Por ejemplo, la altura de una persona se puede medir como 175,12 centímetros, pero una medida más precisa puede arrojar 175,117 centímetros, y una aún más precisa puede ser 175,1168 centímetros, ¡y así sucesivamente!
Como ejemplo, suponga que las alturas pueden oscilar entre 140 cm y 210 cm. Matemáticamente, la correspondiente variable aleatoria continua, X , se escribiría como un intervalo:
Flujo de Caja Descontado (DCF) y su Relación con el Valor de Mercado
 |
En otras palabras, una variable aleatoria continua no tiene un número contable de posibles resultados.
Función de densidad de probabilidad
La función de densidad de probabilidad , que es otro nombre para una función de distribución de probabilidad continua, es un gráfico de las probabilidades asociadas con todos los valores posibles que puede tomar una variable aleatoria continua. Aparece como una curva continua, con los valores de las variables aleatorias graficados en el eje xy sus probabilidades correspondientes en el eje y .
Como se muestra en el gráfico de Distribución de alturas, hay un rango continuo de valores entre 140 cm y 200 cm.
¿Qué es el Valor Contable? Una Guía Completa
 |
Cálculo e interpretación del valor esperado
Una cantidad útil que podemos calcular para una distribución de probabilidad continua es el valor esperado . Es el resultado que deberíamos esperar obtener en promedio.
El valor esperado de una variable aleatoria continua se puede calcular integrando el producto de la función de densidad de probabilidad con x . Matemáticamente, se define de la siguiente manera:
 |
Integramos sobre el intervalo en el que f (x) no es igual a cero. Como ejemplo simple, suponga que f (x) se define de la siguiente manera:
 |
Podemos resolver el valor esperado, E (x) , como se muestra en la pantalla:
 |
Al conectarnos y consumirnos, nuestra respuesta es 60.
Volviendo al ejemplo de distribución de altura, supongamos que f (x) es una función gaussiana con una media, mu , de 170 y una desviación estándar, sigma , de 10, como se muestra aquí:
 |
Podemos configurar la integral para calcular el valor esperado de la siguiente manera:
 |
El cálculo real de esta integral está más allá del alcance de esta lección, pero este ejemplo debería ayudarlo a configurar integrales para problemas que involucran una distribución gaussiana.
Tenga en cuenta que el valor esperado en sí mismo puede no tener una alta probabilidad de ocurrencia.
 |
Sin embargo, el valor promedio a largo plazo de la distribución de probabilidad debe estar cerca del valor esperado.
Resumen de la lección
Para recapitular esta lección, repasamos variables aleatorias discretas y continuas, así como también cómo encontrar e interpretar el valor esperado asociado con la función de densidad de probabilidad.
Las variables aleatorias son variables que designan los posibles resultados de procesos aleatorios. Las variables aleatorias pueden ser discretas, lo que significa que el número de resultados posibles es contable, o continuo, lo que significa que el número de resultados posibles es incontable.
Por ejemplo, una variable aleatoria discreta describiría procesos como lanzar una moneda o lanzar un dado. Por otro lado, una variable aleatoria continua describiría procesos como las mediciones de tiempo.
La función de distribución de probabilidad para una variable aleatoria continua, también llamada función de densidad de probabilidad , es un gráfico de las probabilidades asociadas con todos los valores posibles que puede tomar una variable aleatoria continua.
También hemos cubierto cómo calcular el valor esperado , que es el resultado que deberíamos esperar obtener en promedio. Para una variable aleatoria continua, el cálculo implica integrar x con la función de densidad de probabilidad, f (x) .
Vocabulario y definiciones
Variable aleatoria : Las variables aleatorias son variables discretas o continuas que designan los posibles resultados.
Función de densidad de probabilidad : La función de densidad de probabilidad es un gráfico de las probabilidades asociadas con todos los valores posibles que puede tomar una variable aleatoria continua.
Valor esperado : El valor esperado es el resultado promedio que podríamos obtener.
Los resultados del aprendizaje
Si entendió completamente la lección anterior, podría fácilmente:
- Nombra dos tipos de variables aleatorias
- Encuentre e interprete los valores esperados de una variable aleatoria continua
Explora más sobre este tema
Selecciona un tema y sigue aprendiendo...
