Escribir y graficar funciones lineales

¿Qué es una función lineal?

Conozcamos a Matt que se perdió la clase de matemáticas mientras asistía a una competencia de natación. En su ausencia, la clase cubrió funciones lineales, y aunque ha leído las notas y el libro de texto, todavía tiene problemas con el concepto. Veamos si podemos ayudar a Matt con este problema.

Una función lineal muestra la relación entre dos variables y siempre da como resultado un gráfico que es una línea recta. Una de las variables es independiente , lo que significa que no depende de la otra variable. Las variables independientes están representadas por x . La otra variable en una función lineal es dependiente , lo que significa que su valor depende de otra variable y está representada por y .

Hay varias formas diferentes de expresar una función lineal, como una tabla, un gráfico o una ecuación. Veamos estos métodos con más detalle.

Expresar una función lineal usando una ecuación

Una función lineal está representada por la ecuación:

y = mx + b donde:

y = la coordenada y

m = la pendiente de la línea, o qué tan empinada es

x = la coordenada x

b = la intersección con el eje y, o donde la línea cruza el eje y en una gráfica

Veamos cómo podemos usar la ecuación para graficar una función lineal. ¿Cómo graficaríamos y = 2 x + 3? La ecuación nos dice que la pendiente de la línea (m) = 2 y cruza el eje y (b) en 3. Para graficar la función, necesitamos tener algunos pares ordenados. La mejor forma de producir estos puntos es crear una tabla de valores que nos muestre los puntos que están en la línea. Al crear una tabla de valores, siempre es útil usar algunos valores positivos y negativos para x para que pueda tener una idea de cómo se comporta la línea. Supongamos que queremos graficar los valores cuando x es -2, -1, 0, 1 y 2. La tabla de valores sería:

Ahora que tenemos nuestros pares ordenados, o un valor para x y y , podemos graficar la ecuación y = 2x + 3 mediante el trazado de estos pares en una gráfica.

Podemos ver en el gráfico que la línea cruza el eje y en 3 o el punto (0, 3) y que la línea se inclina hacia arriba y hacia la derecha, lo que indica que la pendiente es positiva. Esto es consistente con nuestra ecuación, y = 2 x +3 ya que la pendiente de la línea en esta ecuación es +2. También podemos notar que todos los pares ordenados que calculamos en nuestra tabla de valores también están en el gráfico, específicamente, (-2, -1), (-1, 1), (0, 3), (1, 5) y (2, 7).

Escribir una función lineal a partir de un gráfico

Intentemos partir de una gráfica y escribir la ecuación que la acompaña. Para escribir la función lineal en la forma de y = m x + b, necesitaremos determinar las líneas:

• pendiente (m)
• intersección y (b)

Podemos decir por la gráfica que la pendiente de la línea es negativa porque la línea desciende hacia la derecha. Parece que la intersección con el eje y (b) del gráfico es 2, como lo representa el punto (0,2). Ahora tenemos que determinar la pendiente de la recta. Para hacer esto, debemos usar al menos dos puntos de la línea. Elijamos (-2, 4) y (0, 2). Podemos usar dos puntos cualesquiera ya que la pendiente es una línea recta. Para calcular la pendiente, usamos la siguiente fórmula:

Usando nuestros dos puntos y sustituyéndolos en la fórmula, obtenemos:

m = (4 – 2) / (-2 – 0)

m = 2 / -2

m = -1

Ahora sabemos que la pendiente (m) = -1 y la intersección con el eje y (b) es 2. Cuando lo ponemos todo junto, la ecuación de la recta en la gráfica es:

y = m x + b

y = -1 x + 2

Escribir una función lineal a partir de información en un problema verbal

A veces podemos expresar un problema verbal como una función lineal. Supongamos que Matt va a un viaje escolar que cuesta $ 300 por el alquiler del autobús más $ 20 por cada estudiante que viaja en el autobús. Para que Matt exprese esta relación como una función lineal, necesitaría determinar cuál de las variables es dependiente y cuál es independiente. En esta situación, el costo del viaje depende de cuántos estudiantes vayan, por lo que el costo del viaje debe ser la variable dependiente, y , y el número de estudiantes es la variable independiente, x . Podemos escribir la ecuación para esta relación como:

y = 20 x + 300

Si asumimos que 50 estudiantes van al viaje, entonces el viaje costaría $ 1300: ($ 20 x 50) + 300. La relación entre el número de estudiantes y el costo del viaje es lineal, ya que el costo aumentará a medida que más estudiantes continúen. el viaje. Cuando se grafica esta relación, sería una línea recta.

Resumen de la lección

Una función lineal , que muestra la relación entre dos variables y siempre da como resultado una línea recta cuando se representa gráficamente, se puede expresar como una gráfica utilizando el método de la pendiente y la intersección y , como una ecuación cuando se proporciona una gráfica o a partir de la información dada en una problema de palabra.

En una función lineal, una de las variables es independiente, lo que significa que no depende de la otra variable y está representada por y . La otra variable que está representada por x es dependiente , lo que significa que su valor depende de la variable independiente.

La ecuación de una función lineal se expresa como: Y = m x + b, donde m es la pendiente de la línea o grado de inclinación que es, b representa el y intercepción o donde cruza la gráfica el y eje x y x y y representan puntos en el gráfico.

Al graficar una función lineal, debemos calcular al menos dos puntos para poder trazar una línea entre ellos. Para crear estos puntos, podemos usar una tabla de valores donde especificamos valores para x y luego usamos la ecuación de nuestra función lineal para resolver para y .