Definición
Una función continua es una función, o ecuación, que es suave cuando se grafica sobre todo el dominio (conjunto de valores de x ) que le interesa. Si tuviera que pasar el dedo por el gráfico, nunca necesitaría levantarlo. No hay interrupciones ni huecos en el gráfico.
Funciones continuas y el mundo real
Imagina que vives al lado del estadio de fútbol local y quieres montar un puesto para vender conos de nieve a medida que la gente llega al partido. Estás tratando de averiguar dónde comprar tu hielo. Green Grocery Store vende hielo por bolsa de 10 libras. Cada bolsa le cuesta $ 2.
Por otro lado, Red Ice Delivery Service puede traerle la cantidad de hielo que desee. Le cuesta $ 0.25 por libra.
Si compra hielo de Green, tendrá algo de desperdicio si necesita 15 o 25 libras porque solo puede comprar bolsas de diez libras, pero el costo es un poco menor por libra. Con Red, paga un poco más por libra, pero puede obtener exactamente la cantidad que desea.
Si observa los gráficos de los costos del hielo rojo y verde, verá un par de grandes diferencias. Una diferencia es que el gráfico rojo es una línea recta sin cortes. El gráfico verde parece una escalera. Hay roturas en el gráfico por cada diez libras de hielo que se necesitan. Con Green, si necesita 40 libras de hielo, o un poco menos, puede salirse con la suya con 4 bolsas de hielo – $ 8 de costo. Pero tan pronto como necesite un poco más de 40, debe comprar una bolsa más y su costo aumenta en $ 2.
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Debido a que la función verde tiene saltos o saltos, no es continua. No podría trazar un lápiz a lo largo de todo el gráfico verde sin tener que tomar el lápiz. Sin embargo, la función roja se puede dibujar sin levantar el lápiz. Es continuo. No hay saltos repentinos en sus costos en ningún momento.
Gráficos y continuidad
Si observa las cuatro gráficas pequeñas (Gráficas AD), verá que solo una es continua (Gráfica A) sobre los intervalos ( valores x ) mostrados. Los otros tres tienen roturas. No podría dibujar la longitud completa del gráfico sin levantar el lápiz.
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Funciones continuas y cálculo
También puede utilizar el cálculo para determinar si una función es continua.
Propiedad 1.
Existe una conexión entre funciones continuas y límites , un tema estudiado en cálculo. Si una función es continua en algún punto, entonces el límite en ese punto es el mismo si te acercas al punto desde la derecha o desde la izquierda. En otras palabras, si mueves el lápiz hacia ese punto desde cualquier lado, terminas en el mismo lugar.
En el Gráfico D anterior, terminas «más alto» ( valor de y más alto ) si mueves el lápiz hacia el «2» a lo largo de la línea azul desde la izquierda en lugar de a lo largo de la línea roja desde la derecha. Si a es el valor de x que le interesa, entonces matemáticamente escribiría esto como:
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Es un poco como decir que, ya sea que se acerque a Roma desde el norte o desde el sur por una carretera con la etiqueta ‘A Roma’, todavía se está acercando al mismo lugar.
Propiedad 2.
También tiene que ser cierto que Roma existe. Si ambos caminos se acercan a Roma, y Roma se ha elevado al cielo, entonces realmente no importa. No puedes llegar. Si una función es continua en algún punto llamado una , una debe ser definido. Podrías escribir eso de esta manera:
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En otras palabras, la función existe en el punto a , o a está en el dominio de la función.
Propiedad 3.
Sin embargo, todas las carreteras etiquetadas como ‘A Roma’ que se acercan a la misma ubicación y Roma existente no son suficientes. El lugar al que conducen esos caminos debe ser en realidad la misma Roma que existe. Si todas las carreteras dicen «A Roma» y todas terminan en el mismo lugar, Cincinnati, tienes un problema. Que Roma exista en otro continente no te sirve de nada.
De manera similar, el límite que existe debe ser igual al valor de la función en ese punto. El gráfico C anterior es un ejemplo de que esta propiedad no se cumple. Ambas secciones rojas de la curva conducen hacia el mismo lugar, pero el gráfico no está definido allí. Se define más al norte de ese lugar, en el punto azul. Si se satisface la propiedad, entonces matemáticamente escribiría:
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Resumen de la lección
Una función es continua en algún intervalo (sección de la curva) si puede trazar su lápiz sobre la curva en esa sección sin tener que levantarlo. Si esto es cierto, entonces en cualquier punto de ese intervalo, la gráfica será continua. Satisface las tres propiedades de la continuidad.
Los resultados del aprendizaje
Trabaje para lograr estos objetivos cuando concluya esta lección:
- Describe una función continua
- Grafica una función continua
- Usar cálculo para determinar si una función es continua
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