Funciones de biyección, sobreyección e inyección: Diferencias, métodos y descripción general

La palabra ‘función’ puede tener múltiples significados. En el mundo de las matemáticas, la palabra ‘función’ tiene un significado muy específico. Una función es una relación matemática entre dos conjuntos de objetos. Una función trata con dos grupos diferentes de objetos, los llamados entradas y los llamados salidas. Una función toma una entrada, realiza un conjunto de operaciones matemáticas sobre ella y produce una salida. En este sentido, se puede pensar en una función como un mapeo entre dos grandes grupos; uno que asigna todas las entradas posibles a todas las salidas posibles. Usando la terminología de funciones, la tierra de todas las entradas posibles en una función, algo que puede ser diferente para cada función, se llama dominio .de la función La tierra de todas las salidas posibles de una función se llama el codominio de una función.

El dominio y el codominio pueden ser el mismo conjunto de objetos, pueden ser un grupo de objetos completamente diferente o pueden superponerse con los contenidos uno dentro del otro. Por ejemplo, se puede definir una función que asigne letras del alfabeto inglés a números enteros, o una que asigne todos los números reales a todos los números reales.

Más formalmente, una función {eq}f {/eq} que tiene un dominio dado por un conjunto {eq}A {/eq} y un codominio dado por un conjunto {eq}B {/eq} se denota por: {eq}f: A \to B {/eq}. Esto quiere decir que {eq}f {/eq} es un conjunto de reglas para aplicar a cada elemento dentro del conjunto {eq}A {/eq} para producir un elemento dentro del conjunto {eq}B {/eq} . Por ejemplo, la función {eq}f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} {/eq} donde la ecuación de {eq}f {/eq} viene dada por: {eq}f(x) = 3x + 7 {/eq} es un ejemplo de una función. El dominio y el codominio son los mismos en este ejemplo, con el conjunto de reglas aplicadas a cada entrada (es decir, cualquier número real) multiplicando el número por 3 y luego sumando 7 para producir una salida que también es un número real.

Otro ejemplo de una función es la que asigna todas las letras del alfabeto inglés a los números enteros que representan su índice (es decir, ‘a’ se asigna a 1, ‘b’ se asigna a 2, …). En este ejemplo, el dominio es el conjunto de las 26 letras del alfabeto inglés, y el codominio puede variar dependiendo de cómo se defina la función. Puede ser el conjunto de números del 1 al 26, puede ser el conjunto de todos los números naturales (aunque solo se usen los primeros 26), o incluso puede ser el conjunto de todos los números reales (aunque solo se usen los números naturales). usó). El codominio de una función no tiene que ser el conjunto exacto de números que se han mapeado de todas las entradas disponibles, puede ser un conjunto más grande de salidas disponibles, incluso si algunas de ellas nunca se usan. O puede darse el caso de que el codominio sea más pequeño que el dominio, y hay algunas entradas que se asignan a las mismas salidas. Por ejemplo, {eq}g: \mathbb{R} \to \{1\} {/eq} donde {eq}g(x) = 1 {/eq} es un ejemplo de una función; uno donde cada número real se asigna al número 1.

Cuando se habla de funciones en este sentido matemático riguroso, hay ciertos criterios que se deben cumplir para que un mapeo se llame ‘función’. Específicamente, cada elemento del dominio debe aparecer exactamente una vez. Esto implica que no solo cada elemento del dominio debe tener una salida, sino que las entradas individuales no pueden tener dos salidas diferentes. En otras palabras, la cantidad de pares de entrada/salida que tiene una función va a ser el número exacto del tamaño del dominio; ni menos ni más entradas. Esto es diferente al codominio, donde el tamaño del conjunto puede ser mayor, menor o diferente que todas las salidas reales. El tamaño de un conjunto (es decir, el número de elementos que contiene) se denomina cardinalidad .

Por ejemplo, sea {eq}A {/eq} el conjunto de números {eq}\{1, 2, 3\} {/eq} y {eq}B {/eq} sea el conjunto de números {eq} \{7,8\} {/eq}. La cardinalidad de {eq}A {/eq}, denotada por {eq}|A| {/eq}, es igual a 3, y la cardinalidad de {eq}B {/eq} es igual a 2. Considere las siguientes funciones.

• {eq}f: A \to B {/eq} donde {eq}f = \{ (1,7), (2,8), (3,8) \} {/eq} es un ejemplo de un función.
• {eq}g: A \to B {/eq} donde {eq}g = \{ (1,7), (2,8) \} {/eq} NO es una función.
• {eq}h: A \to B {/eq} donde {eq}h = \{ (1,7), (2,8), (2,7), (3,8) \} {/eq} NO es una función.

Tenga en cuenta que cada función tendrá un número de pares de entrada/salida igual a la cardinalidad del dominio. Dado que cada elemento del dominio debe aparecer una vez, y exactamente una vez, se puede pensar en la cardinalidad del conjunto que es la función misma (el conjunto de todos los pares de entrada/salida), y como siempre debe ser igual a la cardinalidad del dominio .

¿Qué es una función inyectiva?

Una función inyectiva, también llamada función uno a uno, es una función en la que cada elemento del codominio aparece COMO MÁXIMO una vez. En otras palabras, cada salida de una función inyectiva tiene una entrada única. Este puede no ser siempre el caso para una función determinada. Por ejemplo, la función que asigna números reales a números reales dados por {eq}f(x) = x^2 {/eq} no es una función inyectiva. Esto se debe a que cada salida tiene dos entradas diferentes. Por ejemplo, 2 y -2 se asignan a la salida de 4. Algo que está permitido en la definición de una función, pero no en la definición de una función uno a uno.

En general, una función {eq}f: A \to B {/eq} es inyectiva si y solo si para todo {eq}m,n {/eq} en el conjunto {eq}A {/eq}, si {eq}f(m) = f(n) {/eq}, luego {eq}m = n {/eq}. También tenga en cuenta que para que una función sea inyectiva, debe ser {eq}|B| \geq |A| {/eq}.

Ejemplos

• {eq}f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} {/eq} donde {eq}f(x) = e^x {/eq} es una función inyectiva.
• {eq}g: {/eq} {letras del alfabeto inglés} {eq}\to \mathbb{N} {/eq} donde {eq}g {/eq} asigna cada letra a su posición indexada en el alfabeto es un ejemplo de una función inyectiva.
• {eq}f’: \mathbb{R} \to \mathbb{R} {/eq} donde {eq}f'(x) = sin(x) {/eq} NO es un ejemplo de función inyectiva. Hay infinitas entradas que se asignan a cualquier salida dada.
• {eq}g’: \{1,2,3\} \to \mathbb{N} {/eq} donde {eq}g’ {/eq} asigna cada entrada al número de letras en su ortografía NO es un ejemplo de una función uno a uno. Tanto 1 como 2 se asignan a la misma salida de 3.

¿Qué es una función sobreyectiva?

Una función sobreyectiva, también llamada función ontológica, es una función en la que cada elemento del codominio aparece AL MENOS una vez. En otras palabras, de todos los números que pueden ser las salidas, cada una tiene al menos una entrada correspondiente. Similar al requisito de que una función sea uno a uno, este criterio puede no ser siempre el caso para cualquier función. El ejemplo de {eq}f(x) = x^2 {/eq} donde {eq}f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} {/eq} no es solo un contraejemplo para uno- funciones to-one sino también para funciones onto. Esto se debe a que el codominio especifica todos los números reales, pero no hay salidas con valores reales negativos que tengan entradas que se asignen a ellas, en el caso de una parábola orientada hacia arriba centrada en el origen.

En general, una función {eq}f: A \to B {/eq} es sobreyectiva si y solo si para todos los elementos {eq}b {/eq} en el conjunto {eq}B {/eq}, existe algún elemento {eq}a {/eq} del conjunto {eq}A {/eq} tal que {eq}f(a) = b {/eq}. También tenga en cuenta que para que una función sea sobreyectiva, debe ser que {eq}|A| \geq |B| {/eq}.

Ejemplos

• {eq}f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} {/eq} donde {eq}f(x) = x^3 {/eq} es un ejemplo de una función sobreyectiva.
• {eq}g: \mathbb{R} \to {[}-1,1{]} {/eq} donde {eq}g(x) = sin(x) {/eq} es un ejemplo de una función sobreyectiva .
• {eq}f’: \mathbb{R} \to \mathbb{R} {/eq} donde {eq}f'(x) = \frac{1}{x} {/eq} NO es sobreyectiva ya que existe un punto en el codominio que no tiene entrada correspondiente (0).
• {eq}g’: \mathbb{R} \to \mathbb{R} {/eq} donde {eq}g'(x) = sin(x) {/eq} NO es un ejemplo de una función sobreyectiva. Hay una cantidad infinita de números reales que no tienen una entrada correspondiente, ya que la función seno está limitada por {eq}{[}-1,1{]} {/eq}.

¿Qué es una función biyectiva?

Una función biyectiva es una función que es tanto inyectiva como sobreyectiva. Recuerde que para una función inyectiva (es decir, una función uno a uno), cada elemento del codominio aparece como máximo una vez. Y para una función sobreyectiva (es decir, una función sobre), cada elemento del codominio aparece al menos una vez. Cuando estas declaraciones se combinan juntas, debe ser que cada elemento en el codominio aparece EXACTAMENTE una vez. Esto implica que el tamaño del dominio y el codominio son iguales.

Ejemplos

• {eq}f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} {/eq} donde {eq}f(x) = x {/eq} es un ejemplo de una función biyectiva. Además, cualquier línea graficada en el plano cartesiano es un ejemplo de una función biyectiva.
• {eq}g: \{2,3,4\} \to \{3,4,5\} {/eq} donde {eq}g = \{(2,3),(3,4),( 4,5)\} {/eq} es un ejemplo de función biyectiva.
• {eq}f’: \mathbb{R} \to \mathbb{R} {/eq} donde {eq}f'(x) = e^x {/eq} NO es biyectiva ya que {eq}f’ {/eq} no es sobre.
• {eq}g’: \mathbb{R} \to {[}-1,1{]} {/eq} donde {eq}g'(x) = sin(x) {/eq} NO es un ejemplo de una función biyectiva ya que {eq}g’ {/eq} no es uno a uno.

Cardinalidad de una función inyectiva

Una función se puede considerar como un conjunto de pares de entrada/salida. La cardinalidad de una función, es decir, la cantidad de pares de entrada/salida, siempre estará determinada por el tamaño del dominio. Por definición, una función debe asignar cada entrada a una y solo una salida. Esto significa que la cardinalidad de una función inyectiva va a ser la misma que la cardinalidad de una función sobreyectiva o biyectiva. Siempre será la cantidad de elementos que hay en el dominio.

Inyectiva vs. Sobreyectiva vs. Biyectiva

No importa si una función es inyectiva, sobreyectiva o ambas, la única similitud entre estas clases de funciones es que todas pertenecen a un grupo más grande de objetos llamados funciones. La cardinalidad del conjunto de la función en sí (es decir, todos los pares de entrada/salida) para cada uno de estos tipos de funciones siempre será del tamaño del dominio, y cada entrada tendrá una, y solo una, salida para sigue con ello.

Estas funciones difieren en las relaciones entre la cardinalidad de sus dominios y codominios. Para una función inyectiva, la cardinalidad del codominio debe ser mayor o igual que la cardinalidad del dominio. Para una función sobreyectiva, el tamaño del codominio debe ser menor o igual que el tamaño del dominio. Y para una función biyectiva, el tamaño del codominio debe ser igual al tamaño del dominio.

Inversos e isomorfismos

Una función invertible es aquella que invierte el mapeo realizado por una función. En general, si {eq}f: A \to B {/eq} es una función que tiene inversa, viene dada por {eq}f^{-1}: B \to A {/eq} y es una mapeo inverso de la función {eq}f {/eq}.

No todas las funciones son invertibles. De hecho, un teorema extremadamente importante relacionado con las funciones es el que establece que una función tiene una inversa si y solo si es una biyección. Esto significa que todas las funciones biyectivas tienen inversas y todas las funciones invertibles son biyectivas. Una función que es solo inyectiva o sobreyectiva, pero no ambas, no es invertible.

Un isomorfismo es una estructura que preserva el mapeo entre dos conjuntos. La estructura que se conserva va a depender de las operaciones definidas sobre los elementos de cada conjunto, algo que puede ser diferente para cada conjunto, pero que suele ser alguna forma de suma y multiplicación. Los isomorfismos son un tema importante en la teoría de grupos, que es un concepto que se plantea en el álgebra abstracta.

Un isomorfismo es un ejemplo de una biyección. Los inversos y los isomorfismos son importantes porque permiten la compatibilidad con versiones anteriores. Esto significa que, dado el valor de una función en un punto, uno puede encontrar el valor inverso en ese punto reemplazando el valor en la función inversa. La ecuación dada por {eq}tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} {/eq} es un ejemplo de isomorfismo.

Resumen de la lección

Una función es un mapeo entre dos conjuntos de objetos llamados entradas y salidas. El conjunto de todas las entradas posibles se denomina dominio de la función y el conjunto de todas las salidas posibles se denomina codominio de la función. Una función {eq}f {/eq} se denota por {eq}f: A \to B {/eq} donde {eq}A {/eq} representa el dominio y {eq}B {/eq} representa el codominio A la función {eq}f {/eq} se le asignará un conjunto de reglas que asigna cada elemento del conjunto {eq}A {/eq} a los elementos del conjunto {eq}B {/eq}. El tamaño de un conjunto, indicado por barras verticales (por ejemplo, {eq}|A| {/eq}), se denomina cardinalidad .

Una función inyectiva (también llamada función uno a uno) es una función en la que cada elemento del codominio aparece COMO MÁXIMO una vez. Formalmente, una función {eq}f: A \to B {/eq} es inyectiva si y solo si para todo {eq}m,n {/eq} en {eq}A {/eq}, {eq}f( m)=f(n) \Rightarrow m=n {/eq}. Una función sobreyectiva (también llamada función onto) es una función en la que cada elemento del codominio aparece AL MENOS una vez. Formalmente, una función {eq}g: A \to B {/eq} es sobreyectiva si y solo si para todo {eq}b {/eq} en {eq}B {/eq}, existe un elemento {eq} a {/eq} en {eq}A {/eq} tal que {eq}f(a) = b {/eq}. La ecuación dada por {eq}f(x) = x^{2} {/eq} es un contraejemplo para funciones tanto inyectivas como sobreyectivas. Una función biyectivaes una función que es tanto inyectiva como sobreyectiva. Cada elemento del codominio aparece EXACTAMENTE una vez, y la cardinalidad del dominio y el codominio son iguales. Una biyección es un ejemplo de isomorfismo, que permite encontrar valores inversos dado un valor inicial. La ecuación dada por {eq}tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} {/eq} es un ejemplo de isomorfismo.