Funciones hiperbólicas: propiedades y aplicaciones

Funciones hiperbólicas en la vida real

Tú y tu amigo habían planeado ir al cine juntos, pero ahora son cinco minutos para mostrar la hora y no hay señales de él. De repente, ahí está, corriendo por la acera frente a tu casa, y parece que detenerse por ti no está en su agenda. Saltas de tu porche y empiezas a correr. Dirigiéndose hacia su amigo, cambia constantemente de dirección hasta que lo alcanza.

Mirando hacia atrás en tus pasos, tu amigo comenta: ‘Oye, trazaste una curva interesante’. A lo que respondes, ‘Seguro. Se basa en funciones hiperbólicas ‘. Está bien, está bien, probablemente no hubieras dicho esto. Es decir, no hasta que haya completado esta lección.

Las funciones hiperbólicas ocurren en todo tipo de lugares. Hablemos de sus propiedades y algunas de sus aplicaciones interesantes.

Identificación de funciones hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas se definen en términos de exponenciales, y las definiciones conducen a propiedades como la diferenciación de funciones hiperbólicas y su expansión como series infinitas. Están escritas como las funciones trigonométricas coseno (cos), seno (sin), tangente (tan), pero tienen una ‘h’ al final. Cosh se pronuncia ‘kosh’; sinh se pronuncia ‘sinch’; y tanh generalmente se lee como ‘tan h’ pero a veces decimos ‘tanch’.

Veamos las gráficas de cosh ( x ) y sinh ( x ):

Esa curva que trazaste se llama curva de seguimiento o curva tractrix. Las ecuaciones que relacionan las x y Y posiciones como una función del tiempo tanto implican funciones hiperbólicas. En el siguiente gráfico, ¿ves el cuadrado (tú) siguiendo al círculo (tu amigo)?

Tenga en cuenta las funciones hiperbólicas cosh ( x ) y tanh ( x ).

Identificación de funciones hiperbólicas

Las funciones cosh ( x ) y sinh ( x ) pueden definirse en términos de funciones exponenciales. Tenga en cuenta que x es la variable independiente.

Existen similitudes entre las funciones trigonométricas y las funciones hiperbólicas. Por ejemplo, la tangente es el seno dividido por el coseno. Para tangente hiperbólica,

Las funciones de activación tienen nombres especiales para sus recíprocos. Secante, abreviado sec, es uno sobre coseno; cosecante, abreviado csc, es uno sobre seno; y cotangente, abreviado cot, es uno sobre tangente. Las versiones hiperbólicas de estas funciones tienen una ‘h’ agregada al final. Por lo tanto, tenemos sech ( x ), csch ( x ) y coth ( x ), como puede ver:

Aquí hay algunas otras propiedades de la función hiperbólica.

En términos de sus derivados,

Como serie,

Ejemplos de funciones hiperbólicas

Usemos las propiedades de la función hiperbólica.

Ejemplo 1

Cuando un cable flexible se suspende entre dos torres, la ecuación relevante es:

Nos gustaría mostrarle que y = cosh ( x ) es una solución a esta ecuación.

Para resolver este problema, comenzaremos asumiendo que y = cosh ( x ) es la solución.

Recuerde que la primera derivada se llama y prima y la segunda derivada se llama y doble prima.

Comenzando con nuestra suposición de que y es cosh ( x ), y primo es la derivada de cosh ( x ). De las propiedades, la derivada de cosh ( x ) es sinh ( x ). Por tanto, y primo es sinh ( x ).

Continuando, y doble prima es la derivada de y prima. Eso significa que y doble primo es la derivada de sinh ( x ). Por las propiedades, sabemos que la derivada de sinh ( x ) es cosh ( x ). Por tanto, y doble primo es cosh ( x ).

Puedes ver lo que tenemos hasta ahora:

Ahora, sustituyamos en nuestra ecuación. Obtenemos lo siguiente:

Si cuadramos ambos lados, llegamos a lo siguiente:

Ahora, a través de un álgebra simple obtenemos esta ecuación

que es una de nuestras propiedades.

Por tanto, nuestra suposición de y era correcta. Concluimos que y = cosh ( x ) es una solución a nuestra ecuación de cable flexible.

Esta solución, y = cosh ( x ) es una curva importante en el diseño de arcos. Esta curva se llama catenería . La curva de catenaria también aparece en la naturaleza. Por ejemplo, los hilos suspendidos de una telaraña son curvas catenarias. Probemos ahora con un segundo ejemplo.

Ejemplo 2

Nos gustaría usar la suma de cosh ( x ) y sinh ( x ) para obtener la expansión en serie de la función exponencial. Recordemos que la función exponencial se puede escribir como esta serie:

Así es como podríamos proceder. Agregamos las expansiones en serie para cosh ( x ) y sinh ( x ) y reordenamos los términos.

Esto es lo que queríamos mostrar.

Otros usos de las funciones hiperbólicas

Aquí hay algunas aplicaciones más. Las descripciones matemáticas del paracaidismo involucran funciones hiperbólicas cuando se considera la resistencia del aire. La onda de gravedad del océano tiene una longitud de onda que depende del tanh ( x ) de la profundidad del agua.

La jerga de las películas de ciencia ficción se basa muy a menudo en teorías científicas reales y experimentos físicos reales. En particular, la teoría de la relatividad analiza el continuo espacio-tiempo utilizando la transformación de Lorentz . Esta es una transformación matemática que se expresa como una matriz cuyos términos son cosh ( x ) y sinh ( x ).

Hay muchas más aplicaciones que podríamos enumerar. Siempre que haya curvas o deformaciones, se puede esperar que intervengan funciones hiperbólicas.

Resumen de la lección

Las funciones hiperbólicas se definen en términos de exponenciales, y las definiciones conducen a propiedades como la diferenciación de funciones hiperbólicas y su expansión como series infinitas. Las funciones hiperbólicas se escriben como las funciones trigonométricas cos, sin, tan, etc., pero tienen una ‘h’ al final, como cosh ( x ), sinh ( x ) y tanh ( x ).

Las funciones hiperbólicas permiten la descripción matemática de muchas aplicaciones. Estas aplicaciones incluyen la ecuación de búsqueda y la ecuación tractriz , o las ecuaciones que relacionan las x y Y posiciones como una función del tiempo, ambos implican funciones hiperbólicas; la curva de catenería , o una curva importante en el diseño de arcos; telarañas, cables colgantes, paracaidismo, olas de gravedad oceánica , que tienen una longitud de onda que depende del tanh ( x ) de la profundidad del agua; relatividad, la ecuación de Lorentz , que es una transformación matemática que se expresa como una matriz cuyos términos son cosh ( x ) y sinh ( y); y el continuo espacio-tiempo.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador