Graficando la región factible de un sistema de desigualdades

La región factible

La región factible. Suena como el título de una película de espías futurista donde todo es verde y negro y todos usan ropa de ciencia ficción sin bolsillos. En un mundo donde el calentamiento global ha dejado la mayor parte de la Tierra inhabitable, una dictadura corrupta controla la Región Factible, el único lugar que queda que puede albergar vida … ¿o no?

Pero por muy divertido que sea ver esa película, en matemáticas, la región factible es en realidad otra cosa. La región factible de un sistema de desigualdades es el área del gráfico que muestra todos los puntos posibles que satisfacen todas las desigualdades.

De acuerdo, no es tan dramático, incluso si también pones un esquema de color futurista verde y negro. Pero saber cómo encontrar la región factible de un sistema de desigualdades es realmente útil, por lo que en esta lección veremos cómo hacerlo.

Graficar un sistema de desigualdades

Para empezar, repasemos cómo graficar una desigualdad. Primero, reemplace el signo de desigualdad con un signo igual y grafique la línea. Luego sombree la región por encima o por debajo de la línea, dependiendo de qué valores satisfacen la desigualdad original.

He aquí un ejemplo rápido. Digamos que queremos graficar y > x . Primero, reemplazaremos el signo de desigualdad con un signo igual y graficaremos la línea y = x .

En un lado de esta línea estarán todos los puntos donde y es menor que x , y en el otro lado estarán todos los puntos donde y es mayor que x . Solo tenemos que averiguar de qué lado es cuál, así que conectaremos un punto de prueba de cada lado.

Podemos ver que debajo de la línea, y < x y arriba de la línea, y > x . Entonces, para graficar la desigualdad y > x , sombrearemos el área sobre la línea. Es un poco difícil de ver, pero también haremos que la línea original sea una línea discontinua, para mostrar que y = x técnicamente no es parte de la solución.

Cuando grafica un sistema de desigualdades, básicamente estás haciendo exactamente el mismo proceso para varias líneas en el mismo gráfico. Entonces, en lugar de graficar solo los puntos que se ajustan a y > x , es posible que desee graficar los puntos que se ajustan a todo lo siguiente:

• y > x
• x > -5
• años <6

Para hacer esto, simplemente graficará todas las desigualdades en el gráfico al mismo tiempo y verá dónde se superponen las tres regiones. Si grafica todas las desigualdades en una gráfica, obtienes esto.

Para ayudarlo a ver la superposición más claramente, el área de y > x se muestra en rojo sólido, el área de x > -5 se muestra con franjas azules y el área de y <6 se muestra con puntos verdes. El lugar donde los tres se superponen es la región factible.

Prueba de la región factible

La región factible de este sistema contiene todos los puntos posibles que satisfacen todas las desigualdades. Podemos probar esto conectando varios puntos para ver dónde caen.

Puede insertar tantos puntos como desee, pero encontrará lo mismo para todos: la región púrpura contiene todos los puntos que satisfacen las tres desigualdades y solo los puntos que satisfacen las tres.

Resumen de la lección

En esta lección, aprendió a encontrar la región factible de un sistema de desigualdades. La región factible es la región de la gráfica que contiene todos los puntos que satisfacen todas las desigualdades en un sistema. Para graficar la región factible, primero grafique cada desigualdad en el sistema. Luego, encuentra el área donde se superponen todas las gráficas. Esa es la región factible.

Puedes comprobar esto matemáticamente. Los puntos que satisfacen todas las desigualdades del sistema estarán dentro de la región factible, pero los puntos que no las satisfagan todas estarán fuera de ella. Y oye, si te vuelves muy bueno en matemáticas, tal vez puedas hacer un thriller de crímenes futurista con eso.