Rodrigo Ricardo

Hallar la tasa instantánea de cambio de una función: fórmula y ejemplos

Publicado el 3 noviembre, 2020

¿Qué es la tasa de cambio instantánea?

Una tasa de cambio instantánea , también llamado el derivado , es una función que le indica qué tan rápido una relación entre dos variables (frecuencia x e Y ) está cambiando en cualquier momento.

Por ejemplo, suponga que ha tomado lecciones de tiro con arco. Cuando disparas tu flecha, abandona tu arco rápidamente y luego se ralentiza gradualmente hasta que golpea el objetivo en el otro lado del campo. Al principio, no eres muy bueno. En el momento en que la flecha golpea el objetivo, se ha ralentizado tanto que rebota en el objetivo sin siquiera perforarlo. Si su pony mascota, Bubbles, trotara por el césped en el momento equivocado, realmente no estaría en peligro. Bubbles apenas sentiría la flecha rebotar en ella.

Con el tiempo, mejora. Las flechas salen de tu arco con mucha mayor velocidad. Si bien es posible que su puntería no sea mucho mejor, las flechas atraviesan el objetivo ahora porque todavía viajan rápidamente cuando lo golpean. Ahora debes tener un poco más de cuidado para mantener a Bubbles fuera del patio cuando practicas.

La diferencia en su disparo es la tasa instantánea de cambio cuando la flecha golpea el objetivo (o burbujas). Es la velocidad a la que se desplaza la flecha en el instante en que hace contacto. Obviamente, si la flecha se mueve a 0 pies por segundo, no dañará a Bubbles, al perro de su vecino ni a nada más. La tasa de cambio instantánea es cero. Sin embargo, cuanto más rápido se mueve en el momento del contacto, peor es el peligro que corre Bubbles.

Si su flecha se ralentiza gradualmente después de dejar su arco, entonces la distancia al objetivo es importante. Si Bubbles cruza el patio a una distancia de 2 yardas de ti, entonces está en peor peligro que si cruza a 100 yardas, asumiendo que accidentalmente recibes un golpe directo de cualquier manera. La velocidad a la que golpea la flecha, la tasa de cambio instantánea, es lo que importa.

La derivada y la pendiente

En matemáticas, a menudo pensamos en la tasa de cambio instantánea como una pendiente . Quizás recuerde que la pendiente de una línea se puede considerar como subida / carrera, o el cambio en y dividido por el cambio en x .

Pendiente = (cambio en y ) / (cambio en x )

Un problema con la tasa de cambio instantánea es que se refiere a un solo instante en el tiempo: es el cambio en y que ocurre cuando el cambio en x es solo un ‘instante’, técnicamente cero.

Sin embargo, si pones cero en el denominador de la fórmula de la pendiente, tienes un problema. Dividir por cero hará que el universo implosione (o algo igualmente horrible que los profesores de matemáticas mantienen como un secreto del resto del mundo). ¿Entonces, Qué haces?

Bueno, el método más fácil es usar límites del cálculo. En lugar de poner un cero en el denominador directamente, pregunta qué sucede con la pendiente a medida que el cero se acerca cada vez más a cero.

En el ejemplo del tiro con arco, eso significa que observa cuánta distancia recorre la flecha en un período de tiempo muy pequeño, y luego hace que ese período de tiempo muy pequeño sea cada vez más pequeño hasta que sea casi cero. Si llamamos a esa pequeña cantidad de tiempo, h , entonces la fórmula para la velocidad instantánea se ve así:

Tasa instantánea de cambio

Si bien esa fórmula puede no parecerse mucho a una solución, por lo general puede hacer alguna manipulación algebraica que lo lleve a la respuesta desde allí. Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Suponga que tiene la siguiente ecuación:

y = 3 x ^ 2

Si graficaras la ecuación, sería una parábola. ¿Cómo hallas la pendiente de una parábola? Bueno, a diferencia de una línea, la pendiente o la inclinación de una parábola cambia constantemente. No encuentras la pendiente de una parábola. Encuentras la pendiente en un punto, bueno, más o menos. Lo que realmente hace es dibujar una línea a través del punto que es tangente , o adyacente, a la curva que pasa por ese punto. Por ejemplo, en el gráfico que se muestra a continuación, la línea azul es tangente a la curva en el punto (1,3).

Parábola con una recta tangente en (1,3)

Ahora, la pendiente de la recta tangente azul es la velocidad instantánea en ese punto. Entonces, ¿cómo lo encuentras? Ahí es donde entran los límites.

Imagina que en lugar de un punto (punto negro) en la curva, hay dos puntos negros muy cerca uno del otro. De hecho, los valores x de esos dos puntos negros están separados por h . Los valores de y están tan separados: f ( x + h ) – f ( x ). En esa expresión, f ( x ) es el valor de y en el primer punto negro. f ( x + h ) es el valor de y en el siguiente punto negro, en h más que x .

Entonces, la pendiente de la línea que conecta los dos puntos negros es:

[f (x + h) - f (x)] / h

Si h resulta ser cero, entonces los dos puntos están uno encima del otro (como es realmente el caso en la imagen).

Nuevamente, no puede dividir en cero, por lo que en su lugar usa límites. Usted obtiene:

Fórmula para la tasa de cambio instantánea

En este ejemplo, f ( x + h ) = 3 ( x + h ) ^ 2 (Simplemente ingrese x + h para x ).

Entonces, obtienes esto:

Ejemplo resuelto

La tasa de cambio instantánea, o derivada, se puede escribir como dy / dx , y es una función que le indica la tasa de cambio instantánea en cualquier punto. Por ejemplo, si x = 1, entonces la tasa de cambio instantánea es 6.

Resumen de la lección

La tasa de cambio instantánea te dice qué tan rápido y está cambiando con respecto a x para cualquier valor de x . También se llama derivada y es la pendiente de la recta tangente a una gráfica en cualquier punto.

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