Interpolación vs. Extrapolación: definición y gráficos

¿Qué son la interpolación y la extrapolación?

Una de las formas más comunes en que se utilizan las matemáticas para comprender el mundo que nos rodea es a través del análisis de datos. El análisis de datos consiste en plantear una pregunta, recopilar datos, organizarlos y luego analizarlos para extraer conclusiones. Este es el proceso para comprender mejor la relación entre dos variables, y las conclusiones extraídas de este proceso pueden usarse para ayudarnos a aprender sobre cómo estas relaciones afectan nuestro mundo y prepararnos para ello.

Por ejemplo, el propietario de una empresa puede querer averiguar cuánto aumentan o disminuyen sus ganancias de un mes al siguiente. Se preguntará: ¿cuánto dinero ganamos cada mes durante los últimos tres años? Luego, recopilará sus datos y los organizará en una tabla o gráfico. Tal vez, en lugar de recopilar los 36 puntos de datos de cada mes durante los últimos tres años, los recopilará cada dos meses o incluso trimestralmente.

Una vez que tienen esta información, pueden analizar las tendencias de los últimos 3 años y hacer predicciones basadas en su análisis. Por ejemplo, pueden querer predecir la cantidad de dinero que ganaron durante uno de los meses para los que no recopilaron datos. Si la predicción se realiza dentro del rango de puntos de datos, se denomina predicción de interpolación. El propietario de la empresa también puede querer saber cuál es la predicción para las ganancias de los próximos meses en función de los datos. Si la predicción está fuera del rango de datos recopilados, se considera una predicción de extrapolación. Para hacer estas predicciones, el propietario de la empresa necesitará una ecuación o un gráfico de línea recta para usar. Consideremos un ejemplo específico.

Ejemplo

Los datos que se muestran a continuación representan las ganancias de una empresa desde su apertura. La variable x es el número de meses desde la apertura de la empresa y la variable y es la ganancia en miles.

{eq}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hlínea x & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 \\ \hlínea y & 2 & 4.5 & 3.9 & 4.8 & 5.6 & 7.1 & 8.3 \\ \hlínea \end{array} {/eq}

Una vez que se han recopilado los datos, podemos representar gráficamente cada punto en un plano de coordenadas. Para poder realizar predicciones de interpolación o extrapolación sobre estos datos, primero debemos tener el gráfico de línea recta. Un gráfico de línea recta es un gráfico de los datos recopilados y la línea de mejor ajuste para esos datos. La línea de mejor ajuste es la función lineal que describe o representa de manera más precisa los datos recopilados. Una vez que tenemos este gráfico de línea recta para nuestros puntos de datos, podemos comenzar a comprender lo que pudo haber sucedido antes, durante o después de la información que tenemos disponible.

Gráfico de interpolación

Utilizando este gráfico y la línea de mejor ajuste, podemos estimar la ganancia obtenida en el quinto mes en aproximadamente 3,6 o $3600 utilizando el gráfico de interpolación.

También podemos utilizar la ecuación de la línea de mejor ajuste, {eq}f(x) = 0,49x + 1,14 {/eq} para predecir que la ganancia en el quinto mes fue {eq}f(5)=0,49(5)+1,14=3,59 {/eq} o $3590.

Esto se consideraría una predicción de interpolación porque el mes que se predice está dentro del rango de los datos recopilados, de 2 meses a 14 meses.

Gráfico de extrapolación

Un ejemplo de predicción por extrapolación sería predecir la ganancia después de 16 meses. Dado que el valor x más grande para los datos es 14, cualquier valor mayor que ese estaría fuera del rango de datos recopilados, por lo que se trataría de una extrapolación. Si extrapolamos el gráfico, podemos predecir que la ganancia será de aproximadamente 9 o $9000.

También podemos utilizar la ecuación de la línea de mejor ajuste para predecir que la ganancia en el mes 16 será {eq}f(5)=0,49(16)+1,14=8,98 {/eq} o $8.980.

Resumen de la lección

Una vez que se han recopilado los datos, los matemáticos pueden analizarlos mediante gráficos y líneas de mejor ajuste. Una vez que se han determinado las líneas de mejor ajuste, los gráficos se pueden utilizar para hacer predicciones sobre las relaciones entre las variables en períodos de tiempo desconocidos. Si la predicción se realiza dentro del rango de los datos recopilados, se trata de una predicción por interpolación. Si la estimación se realiza antes o después del rango de los datos recopilados, se trata de una predicción por extrapolación. Por ejemplo, si los datos se recopilaron entre 2004 y 2015, una predicción por interpolación sería para el año 2010, ya que se encuentra entre los datos iniciales y la fecha final. Una predicción por extrapolación sería para el año 1999, porque este es un año fuera de la ventana de puntos de datos recopilados. Se prefiere la interpolación a la extrapolación porque con la extrapolación, tenemos que suponer que no hubo cambios importantes que distorsionaran los datos.