Inversiones multiplicativas de matrices y ecuaciones matriciales

La matriz multiplicativa inversa

El inverso multiplicativo de una matriz es la matriz que le da la matriz identidad cuando se multiplica por la matriz original. En matemáticas símbolo de hablar, tenemos un * Un sup -1 = I . Esto te dice que cuando multiplicas una matriz A con su inverso multiplicativo, obtendrás la matriz identidad.

Sí, escribimos la inversa con un superíndice de -1. Cuando tratamos con números regulares, nuestro inverso multiplicativo es el número por el que multiplicamos para obtener 1. Entonces, para el número 2, es 1/2. Para el número -3, el inverso multiplicativo es -1/3. Para nuestros números normales, el inverso multiplicativo es simplemente 1 dividido por nuestro número.

Desafortunadamente, no todas las matrices tendrán una inversa, ni es tan simple encontrar la inversa multiplicativa. Para encontrar el inverso multiplicativo, tenemos que encontrar la matriz para la cual, cuando la multiplicamos con nuestra matriz, obtenemos la matriz identidad. Nuestras matrices también deben ser cuadradas y tener el mismo número de filas y columnas.

Dejaremos la discusión sobre cómo encontrar la inversa de una matriz para otra lección. Para esta lección, hablaremos sobre sus beneficios. Verá, es útil aprender sobre el inverso multiplicativo de una matriz porque si lo conocemos, entonces podemos usarlo para ayudarnos a resolver ecuaciones con matrices en ellas.

Una ecuación matricial

Por ejemplo, podemos usarlo para resolver un problema como este:

Esta ecuación matricial tiene la forma Ax = b , donde A es su matriz de coeficientes, x es su matriz variable y b es su matriz de respuestas. Si bien podemos usar otros métodos para resolver este problema, si conocemos el inverso multiplicativo de nuestra matriz de coeficientes, entonces podemos resolver fácilmente el problema simplemente multiplicando ambos lados por el inverso.

Entonces, si supiéramos A sup -1, nuestra respuesta sería x = A sup -1 * b . Sí, nuestra respuesta sería nuestra matriz de respuestas, b , multiplicada por el inverso multiplicativo de nuestra matriz de coeficientes. Veamos cómo funciona esto. Para nuestra matriz de coeficientes, tenemos esta matriz como la matriz inversa multiplicativa:

Podemos comprobar si esta inversa es real o no multiplicándola con nuestra matriz de coeficientes para ver si obtenemos la matriz identidad. Multiplicando las dos matrices, vemos que obtenemos la matriz identidad:

Ahora sabemos con certeza que este inverso es el inverso real, y nos funciona.

Usando el inverso multiplicativo

Para usar este inverso para ayudarnos a encontrar nuestra respuesta, simplemente multiplicamos el inverso con el lado derecho de nuestro problema. Entonces, tenemos esto:

En los símbolos matemáticos, tenemos x = A sup -1 * b . Seguimos adelante y multiplicamos las matrices juntas. De la fila superior, obtenemos 1 (11) + -2 (5) = 11 – 10 = 1. Para la fila inferior, obtenemos -1/2 (11) + 3/2 (5) = -11/2 + 15/2 = 4/2 = 2. Ahora, tenemos esto:

Nuestra respuesta se puede encontrar fácilmente simplemente traduciendo esto a la forma de ecuación. Obtenemos x = 1 e y = 2. Como puede ver, usar la inversa de una matriz para encontrar nuestra solución puede ser algo muy fácil de hacer. Usaría este método siempre que sepa cuál es la inversa de una matriz.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido. El inverso multiplicativo de una matriz es la matriz que le da la matriz identidad cuando se multiplica por la matriz original. En matemáticas símbolo de hablar, tenemos un * Un sup -1 = I .

Puede usar el inverso multiplicativo de una matriz para resolver problemas en la forma de Ax = b , donde A es su matriz de coeficientes, x es su matriz variable y b es su matriz de respuesta o constante.

Si conoce la inversa de una matriz, puede resolver el problema multiplicando la inversa de la matriz con la matriz de respuesta, x = A sup -1 * b . Después de multiplicar, puede encontrar fácilmente la respuesta volviendo a traducir a la forma de la ecuación.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, debería poder:

• Definir el inverso multiplicativo de una matriz
• Explica cuándo y cómo puedes usar el inverso multiplicativo de una matriz para resolver problemas.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador