Relaciones
¿Has hecho alguna vez una manta? Si es así, entonces sabes que se necesita tela para hacerlo. Suponga que está haciendo una manta cosiendo trozos de tela. Vas a la tienda y hay una oferta en estas muestras. Obtiene tres muestras por $ 4.00, independientemente de si compra una, dos o tres, y cada muestra después de eso cuesta $ 2.00 adicionales. La cantidad de dinero que gasta está relacionada con la cantidad de muestras que compra. En matemáticas, este es un ejemplo de relación. Una relación consta de dos conjuntos de elementos denominados entradas y salidas, donde la entrada está relacionada con la salida de alguna manera. En nuestro ejemplo, el costo es la entrada y el número de muestras es la salida. También podemos representar la relación usando pares ordenados de la siguiente manera.
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Vemos que en esta relación, cuando tenemos una entrada de 4, tenemos una salida de 1, 2 o 3. Esto nos dice que si gastó $ 4, compró 1, 2 o 3 muestras de tela. De manera similar, cuando tenemos una entrada de 8, tenemos una salida de 5. Esto nos dice que si gastó $ 8, compró 5 muestras de tela.
Funciones
Ahora suponga que va a comprar sus muestras en un día en que la tienda no tiene la venta. Debido a que no hay venta, las muestras cuestan $ 2 por pieza.
Esto crea una relación con diferentes entradas y salidas. Esto también se puede representar usando pares ordenados de la siguiente manera.
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El costo sigue siendo nuestra entrada y el número de muestras sigue siendo nuestra salida. Sin embargo, este es un tipo especial de relación. ¿Notas algo diferente en este del ejemplo inicial? Te daré una pista. Tiene que ver con los tres primeros pares ordenados de la relación.
Modelo Sistémico: Definición, fortalezas y debilidades
En la primera relación, cuando hubo una venta, los primeros tres pares ordenados tenían todos la misma entrada con diferentes salidas. En esta relación, cuando no hay venta, cada insumo tiene una y solo una salida. Cuando este es el caso, llamamos función a la relación. En matemáticas, una función es una relación en la que ninguna entrada se relaciona con más de una salida. En nuestro ejemplo, diríamos que la cantidad de muestras que compra es una función del costo.
Determinación de funciones
Como acabamos de ver, la diferencia entre una relación que es una función y una relación que no es una función es que una relación que es una función tiene entradas relacionadas con una y solo una salida. Cuando una relación no es una función, este no es el caso.
Entonces, ¿cómo podemos determinar si una relación es una función? Una buena forma de hacerlo es considerar la frase «es una función de» como «está determinada por». Cuando se trata de una función, cada salida está determinada por su entrada.
Consideremos nuestros ejemplos de muestra. Cuando no hubo una venta, encontramos que la relación entre el costo y el número de muestras era una función. Es decir, la cantidad de muestras que compra ‘es una función’ del costo. Por lo tanto, la cantidad de muestras que compra «está determinada por» el costo. Entonces, si le dijera que su costo total sería de $ 4, podría decirme, con total certeza, que estaba comprando 2 muestras de tela. De manera similar, si le dijera que el costo total sería de $ 8, podría decirme que iba a obtener 4 muestras. Esto se debe a que cada entrada (o costo) tiene exactamente una salida (o número de muestras).
Ahora, piense en el primer ejemplo de muestra, cuando hubo una venta. Si le dijera que su costo será de $ 4, ¿podría determinar cuántas muestras está comprando? ¡La respuesta es no! No podría, porque $ 4 está relacionado con 1, 2 y 3 muestras. No tiene forma de determinar si estaba recibiendo 1, 2 o 3 muestras, por lo que la cantidad de muestras «no está determinada por» el costo. Por tanto, el número de muestras «no es una función» del coste. Esto se debe a que la entrada 4 tiene más de una salida, a saber, 1, 2 y 3.
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En general, podemos determinar si una relación es una función observando sus entradas y salidas. Si una entrada tiene más de una salida, la relación no es una función. Si cada entrada tiene exactamente una salida, entonces la relación es una función.
Ejemplo
Considere esta relación:
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¿Qué piensas? ¿Es esta relación una función? Vamos a pensarlo. Si le doy una entrada, ¿puede determinar la salida? En otras palabras, ¿cada entrada tiene exactamente una salida? Si dijiste que sí, ¡estás en lo correcto!
Cada entrada tiene exactamente una salida, y si le di una entrada, puede determinar la salida. Por tanto, esta relación es una función.
Resumen de la lección
Una relación es un conjunto de entradas y salidas que están relacionadas de alguna manera. Cuando cada entrada en una relación tiene exactamente una salida, se dice que la relación es una función . Para determinar si una relación es una función, nos aseguramos de que ninguna entrada tenga más de una salida. Para que una relación sea una función, debemos poder determinar una salida dada una entrada. Una buena forma de recordar esto es pensar en ‘es una función de’ como ‘está determinado por’.
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Las relaciones y las funciones son una gran parte de las matemáticas, por lo que es muy útil estar familiarizado con el concepto de ambas y poder distinguir entre las dos. Ahora estamos un poco más familiarizados con ambos.
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