Módulo en matemáticas: definición y ejemplos

Módulo

La palabra módulo en matemáticas suena como algo intimidante y complicado. Sin embargo, lo crea o no, ¡en realidad se ocupa de este concepto a diario! Cada vez que dices la hora, en realidad estás lidiando con el módulo 12. Exploremos cómo sucede esto. Eche un vistazo a este reloj:

Módulo 12

Observe que los números en el reloj suben hasta el doce y luego comienzan de nuevo. Por ejemplo, si comenzamos a la medianoche, una hora más tarde es la 1 en punto, dos horas más tarde son las 2 en punto, tres horas más tarde son las 3 en punto, y así sucesivamente. Esto continúa durante doce horas hasta el mediodía del día siguiente; en ese punto, comenzamos de nuevo. Así, 13 horas después de la medianoche es la 1 en punto, 14 horas después de la medianoche son las 2 en punto, 15 horas después de la medianoche son las 3 en punto, y así sucesivamente. Esto continúa durante otras 12 horas y luego comenzamos de nuevo.

¿Observa que esto se parece a una especie de recuento circular? En matemáticas, este conteo circular se llama aritmética modular , y el número 12 en este ejemplo se llama módulo . Un módulo es el número en el que comenzamos de nuevo cuando se trata de aritmética modular. Bastante simple, ¿verdad? Veamos algo de notación y profundicemos nuestra comprensión de este concepto.

Notación

Cuando pensamos en el número de horas después de la medianoche, observe que 13 horas después de la medianoche es lo mismo que la 1 en punto, 25 horas después de la medianoche es lo mismo que la 1 en punto, 37 horas después de la medianoche es lo mismo que la 1 en punto. reloj, y así sucesivamente. En aritmética modular, en lugar de decir que estos números son iguales, diríamos que estos números son congruentes mod 12 y lo escribiríamos así:

En términos matemáticos, esto significa que los números 1, 13, 25, 37, … todos tienen el mismo resto cuando los dividimos entre 12, es decir, un resto de 1.

En general, la notación que usamos para decir que dos números, como a y b son congruentes mod n, se ve así:

Esta notación dice que cuando dividimos una o b por n , obtenemos el mismo resto. En general, cuando se nos pide que encontremos c mod n , la respuesta sería el resto cuando c se divide por n . Esto simplifica las cosas ya que c mod n es en realidad congruente con muchos números mod n . Por ejemplo, si nos pidieran que encontráramos 14 mod 12, la respuesta sería 2 mod 12, porque si dividimos 14 entre 12, obtenemos un resto de 2. Aunque es cierto que 14 mod 12 es congruente con 26 mod 12 , 38 mod 12, 50 mod 12, y así sucesivamente, solo daríamos la respuesta 2 mod 12.

Trabajar con diferentes módulos

Hasta ahora, hemos hablado de trabajar con módulo 12, pero este concepto se extiende al uso de cualquier número como módulo. El módulo solo representa el número hasta el que contamos y luego comienza de nuevo. Por ejemplo, si estuviéramos contando en módulo 4, entonces nuestro conteo sería así: 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, … en lugar de lo normal patrón de conteo 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … Basado en esto, podemos ver que 1 mod 4 es congruente con 5 mod 4, 9 mod 4 , 13 mod 4 y así sucesivamente. Es decir, los números 5, 9, 13, 17 y así sucesivamente tienen el mismo resto cuando los dividimos entre 4; es decir, un resto de 1. Podemos ver el concepto de módulo 4 ilustrado aquí:

Módulo 4

Es importante notar que cuando se trabaja en mod n , si el resto es 0 cuando dividimos a entre n , entonces un mod n sería 0 mod n , no n mod n . Recuerde que cuando intentamos encontrar un mod n , solo buscamos el resto cuando a se divide por n . Por ejemplo, si estuviéramos tratando de encontrar 8 mod 4, la respuesta sería 0 mod 4, no 4 mod 4, porque el resto es 0 cuando dividimos 8 entre 4.

A medida que nos sentimos más cómodos con este concepto, reconoceremos que en realidad usamos este tipo de pensamiento con bastante frecuencia. Por ejemplo, hay 365 días en un año. Si tuviéramos que contar los días de cada año, contaríamos hasta 365, luego comenzaríamos de nuevo en 1. Al hacer esto, estamos trabajando con módulo 365. De manera similar, hay 7 días en una semana. Si contamos los días de cada semana, contaríamos hasta 7 y luego empezaríamos de nuevo. En este caso, estamos trabajando con módulo 7.

Resumen de la lección

Aunque el término módulo suena un poco complicado, es un concepto que encontramos con bastante frecuencia en nuestra vida diaria. Cada vez que nos encontramos con una situación u ocurrencia cuando contamos de forma circular o cíclica, en realidad estamos trabajando con un módulo. El número con el que contamos y luego comenzamos de nuevo se llama módulo .

Matemáticamente hablando, cuando decimos que un mod n es congruente con b mod n , estamos diciendo que tanto a como b tienen el mismo resto cuando se dividen por n . Si se nos pide que encontremos c mod n , solo buscamos el resto cuando dividimos c entre n . Ahora que está familiarizado con este concepto, encontrará que realmente lo usa bastante.

Los resultados del aprendizaje

Ahora que la lección está completa, repase lo que aprendió:

• Describir la aritmética modular y definir el módulo.
• Ilustrar la notación aritmética modular
• Explicar la función de los residuos en aritmética modular.
• Recordar ejemplos de la vida real de diferentes módulos.