Pendiente, punto medio, paralelismo y distancia en el plano de coordenadas

Cuadrículas de coordenadas

Si está familiarizado con las carreteras de Manhattan, es probable que sepa que forman una cuadrícula de coordenadas. Las calles corren de norte a sur y las avenidas corren de este a oeste. Ese es el caso de la mayoría de las carreteras, excepto Broadway, que corre en diagonal.

Se pueden dibujar formas bidimensionales en una cuadrícula de coordenadas. Los lados y ángulos de estas formas se colocan en la cuadrícula de coordenadas usando los pares ordenados ( x , y ). Las relaciones entre los lados y los ángulos, como la pendiente, el punto medio y la distancia, se pueden encontrar usando fórmulas. Esta lección utilizará los conceptos de pendiente, paralelismo y distancia para determinar las propiedades de las formas geométricas.

Las diferentes dimensiones

1. Pendiente

La pendiente , cuando se aplica a la cuadrícula de coordenadas XY, es una medida de cuánto cambia el valor de y en comparación con la rapidez con que cambia el valor de x . Para encontrar la pendiente entre dos puntos en una cuadrícula de coordenadas, divida el cambio en los valores de y por el cambio en los valores de x .

Muchos cuadriláteros requieren que dos lados y diagonales sean perpendiculares. Puede encontrar la pendiente de cada segmento de línea para determinar si los segmentos de línea son perpendiculares. Dos segmentos de recta serán perpendiculares si las pendientes de estos segmentos son recíprocos negativos.

2. Paralelismo

Si dos líneas dibujadas en una cuadrícula de coordenadas nunca se cruzan, entonces las líneas son paralelas entre sí. Dos segmentos de línea son paralelos si las líneas de las que provienen los segmentos nunca se cruzan. Para verificar si dos segmentos de línea de una forma geométrica son paralelos, encuentre la pendiente de ambos segmentos. Dos segmentos de recta que son paralelos tienen la misma pendiente.

3. Punto medio

Si tiene dos puntos ubicados en una cuadrícula de coordenadas XY, puede encontrar el punto medio entre los dos puntos. El punto medio es el punto que está a la misma distancia de ambos puntos y que se encuentra en el segmento de línea que conecta los dos puntos. El punto medio se obtiene sumando los dos valores de x y dividiendo por 2, luego sumando los dos valores de y y dividiendo por 2. Si tiene el diámetro de un círculo; puede encontrar el centro del círculo encontrando el punto medio de los extremos del diámetro.

4. Distancia

La distancia entre dos puntos en una cuadrícula de coordenadas se puede encontrar usando la fórmula de distancia. La fórmula de la distancia se basa en el teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras establece que la suma de los cuadrados de los dos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Para encontrar la distancia entre dos puntos usando la fórmula de la distancia, encuentre la diferencia entre los dos valores de x y los dos valores de y . Cuadre cada diferencia y luego tome su suma. Encuentra la raíz cuadrada de la suma de las diferencias al cuadrado. Cuando se dibujan formas geométricas en una cuadrícula de coordenadas, a menudo tendrá que encontrar la longitud del lado de la forma. Si el lado está en diagonal, la fórmula de la distancia le permite encontrar la longitud.

Ejemplo 1

Los puntos A (1,5), B (4,1), C (9,6), D (6,10) son los vértices de un cuadrilátero.

¿Es este cuadrilátero ABCD un paralelogramo?

Los paralelogramos tienen dos conjuntos de lados paralelos. La pendiente de AD es 1, la pendiente de DC es -4/3, la pendiente de BC es 1 y la pendiente de AB es -4/3. AD y BC son paralelos. DC y AB son paralelos. Dos conjuntos de líneas paralelas. El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.

¿Es el cuadrilátero ABCD un rectángulo?

Los rectángulos tienen dos conjuntos de lados paralelos y los lados forman ángulos rectos.

Ya hemos probado que los lados son paralelos. Si dos segmentos de recta son perpendiculares (forman ángulos rectos) tendrán una pendiente que son recíprocos negativos. La pendiente de DC y AB es -4/3. La pendiente del otro conjunto de lados tendría que ser 3/4 si fueran perpendiculares. El cuadrilátero ABCD no es un rectángulo.

Ejemplo 2

AB es el diámetro de un círculo. A es el punto (7,10) y B es (13,20).

¿Cuál es el centro del círculo?

El centro del círculo sería el punto medio del diámetro. ((7 + 13) / 2, (10 + 20) / 2). (10,15) es el centro del círculo.

Ejemplo 3

De regreso a la ciudad de Nueva York. Si desea saber cuántas cuadras caminó en Broadway, deberá usar la fórmula de la distancia. Por ejemplo, ¿cuántas cuadras hay entre 59th Street y 8th Avenue hasta 72nd Street y 10th Avenue caminando por Broadway?

Debe encontrar la distancia entre los puntos (59,8) y (72,10). La fórmula de la distancia nos hará encontrar la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de 13 y 2. 169 + 4 = 173. La raíz cuadrada de 173 es 13.2. La distancia a lo largo de Broadway es de 13,2 manzanas.

Resumen de la lección

Dediquemos unos minutos a repasar lo que hemos aprendido en esta lección. Cuando se dibujan formas en el plano geométrico, tienen las propiedades de pendiente, distancia y punto medio. Aprendimos que la pendiente , cuando se aplica a la cuadrícula de coordenadas XY, es una medida de cuánto cambia el valor de y en comparación con qué tan rápido cambia el valor de x . El punto medio es un punto que está a la misma distancia de ambos puntos y que se encuentra en el segmento de línea que conecta los dos puntos. Y la distancia se encuentra usando la fórmula de la distancia.

Para encontrar la pendiente, encontrar la diferencia entre los dos Y los valores y se divide por la diferencia entre los dos x valores. El punto medio se obtiene tomando el promedio de los dos valores de x y el promedio de los dos valores de y . La fórmula de la distancia que mencionamos hace un segundo se basa en el teorema de Pitágoras , que establece que la suma de los cuadrados de los dos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Para encontrar la distancia entre dos puntos, encontrar la diferencia entre los dos Y los valores y la diferencia entre los dos x valores. Eleve al cuadrado ambos números, sume esos cuadrados y luego saque la raíz cuadrada del total.