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Reacciones de primer orden: definición y representación matemática

Publicado el 1 octubre, 2020

Tasas de reacción

¿Cómo pueden los científicos utilizar los depósitos de uranio para fechar la edad de la Tierra? Nadie estaba vivo en ese entonces, ¡ni siquiera había bacterias! Bueno, resulta que la desintegración radiactiva del uranio-238 es muy predecible y se puede describir matemáticamente, utilizando reacciones de primer orden.

La velocidad de reacción , o velocidad de reacción, es la velocidad a la que progresa una reacción. Definimos esto matemáticamente midiendo la velocidad a la que desaparecen los reactivos o aparecen los productos, donde la velocidad se define como una derivada con respecto al tiempo. En esta lección, nos concentraremos en reacciones de primer orden. Debido a que las velocidades de reacción de primer orden solo dependen de la concentración de un reactivo, podemos definir la velocidad de estas reacciones como la velocidad de desaparición de este reactivo.

Las leyes de tasa son ecuaciones que describen matemáticamente esta tasa. Saber qué variables determinan la velocidad de reacción nos permite sacar conclusiones útiles sobre esa reacción. En esta lección, veremos las reacciones de primer orden, que dependen solo de la concentración de un reactivo. Luego usaremos esta ley de velocidad para derivar una ecuación para la vida media de la reacción.

tasa de reacción

En esta expresión, los corchetes denotan concentración, por lo que A entre paréntesis es la concentración del reactivo A. El signo negativo indica que la concentración está disminuyendo con el tiempo y t es el tiempo.

Ley de tasa diferencial

Las reacciones de primer orden solo dependen de la concentración de un reactivo elevado a la potencia de uno. En otras palabras, en las reacciones de primer orden, la velocidad es proporcional a la concentración de reactivo A. Si fuera proporcional a la concentración de dos reactivos diferentes oa la concentración de reactivo A al cuadrado, sería una reacción de segundo orden. . Dejaremos esa discusión para otra lección.

La tasa es proporcional a la concentración de A

Podemos convertir una proporción en una ecuación multiplicando por una constante. Esta constante, k , es el coeficiente de velocidad de reacción .

tasa es igual a k A

Luego, conectar la definición de tasa de la sección anterior en nuestra ley de tasa nos da la ley de tasa diferencial .

ecuación de tasa diferencial

Ley de Tasas Integradas

Comenzando con la ley de tasa diferencial,

ecuación de tasa diferencial

queremos mover todas las concentraciones a un lado de la ecuación y mover la constante y el tiempo al otro lado de la ecuación. Ahora se puede leer como:

resolviendo la ley de tarifas de primer orden

Entonces podemos integrar cada lado de la ecuación:

integración de la ley de tasas

Una vez que hagamos eso, nos dará la representación integral de la ley de tasas:

ley de tarifas de primer orden integrada

Con un poco de álgebra, esto también se puede representar de otra manera:

ley de tarifas de primer orden integrada

Vida media de las reacciones de primer orden

La vida media de una reacción es el tiempo que lleva reducir la concentración de un reactivo a la mitad. En otras palabras, en este punto, la concentración del reactivo es la mitad de su concentración inicial:

condición de vida media

Si conectamos esto a nuestra ley de tasa integrada, obtendríamos la siguiente ecuación para la vida media:

vida media de una reacción de primer orden

Podemos ver en esta ecuación que la vida media solo depende del coeficiente de velocidad de reacción, k , que es una constante. Esto significa que la cantidad de tiempo que se necesita para reducir el reactivo a la mitad no depende de la concentración. Si partimos del 100% del reactivo A, se tarda el mismo tiempo en pasar del 100% al 50% que en pasar del 50% al 25% y del 25% al ​​12,5%. Podemos graficar este comportamiento para el carbono 14, que tiene una vida media de 5.730 años:

decaimiento del carbono-14

Tenga en cuenta que la cantidad de carbono 14 nunca llega a cero: ¡cada 5.730 años, se reduce a la mitad nuevamente! ¡El uranio-238 tiene una vida media de casi 4.500 millones de años! Por eso se puede usar para fechar la tierra. Observar cuánto se han desintegrado los depósitos de uranio en la Tierra nos da una buena idea de la edad de la Tierra.

Problema de muestra

Veamos cómo se puede utilizar esta información. Si una muestra de árbol tiene 1.0×10 -6 g de carbono -14 cuando muere (es decir, cuando deja de intercambiar carbono-14 con la tierra), ¿cuánto carbono-14 quedará en la muestra después de 9.000 años?

Al resolver un problema como este, comenzamos mirando lo que se da o se conoce:

  • La muestra es carbono 14, que tiene una vida media de 5.730 años.
  • El tiempo, t, en el que se desintegra el carbono 14, es de 9.000 años.
  • La concentración inicial es 1.0×10 -6 g por muestra.

Si la vida media del carbono 14 es 5.730 años, entonces podemos determinar k para el carbono 14 a partir de nuestra ecuación de vida media que acabamos de ver:

k para carbono-14

Luego podemos insertar las cantidades conocidas en la representación integral de la ley de tasas. Al resolver problemas, es mejor elegir la versión de la ecuación que sea más fácil de resolver. En este ejemplo, queremos usar la ecuación sin un logaritmo natural. Tenga en cuenta que podemos cancelar las unidades de tiempo en el exponente:

resuelto para At después de 9000 años

Por tanto, después de 9.000 años, quedarían 3,4×10 -7 g de carbono 14 en la muestra.

Resumen de la lección

Repasemos brevemente lo que hemos aprendido uno a la vez.

Las velocidades de reacción , o velocidades de reacción, son las velocidades a las que progresa una reacción. Las velocidades de reacción de primer orden solo dependen de la concentración de un reactivo.

Esta relación se puede expresar en:

Una ley de tasa diferencial :

ecuación de tasa diferencial

Una ley de tarifas integrada :

ley de tarifas de primer orden integrada

Esta ley de velocidad también da como resultado una vida media , o el tiempo que se necesita para reducir la concentración de un reactivo a la mitad, que no depende de la concentración:

media vida

Las vidas medias pueden ser una poderosa herramienta de predicción para reacciones de primer orden. Se utilizan con mayor frecuencia en aplicaciones de desintegración radiactiva que pueden variar desde el uso médico a corto plazo hasta la aplicación geológica a largo plazo.

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