Reconocimiento y generalización de patrones en matemáticas

¿Qué es una secuencia?

Si te pidiera que contaras de dos en dos, ¿qué harías? ¿Le daría a la pantalla un aspecto confuso, preguntándose si estaba hablando un idioma diferente? ¿O comenzaría intrínsecamente a pensar ‘2, 4, 6, 8’ en su cabeza? Lo más probable es que hagas lo último porque conoces la secuencia de contar de dos en dos. Una secuenciaes un conjunto de números en el que se puede predecir el siguiente número a partir de números anteriores. En otras palabras, las secuencias son grupos de números que siguen una progresión establecida. Para las personas interesadas en las matemáticas, las secuencias son una de las cosas más interesantes que existen. Hay una gran cantidad de conocimiento contenido en ellos, y realmente solo ahora estamos comenzando a descifrar el código de algunas de las secuencias más avanzadas. Aún así, podemos usar muchos de los más básicos casi todos los días, como contar de dos en dos. En esta lección, veremos dos tipos de secuencias básicas, dos secuencias más avanzadas y finalmente la más conocida de las secuencias verdaderamente avanzadas. No se preocupe, lo haremos en orden secuencial.

Secuencias aritméticas y geométricas

Cuando te pedí que contaras de dos en dos, te pedía que realizaras una secuencia aritmética . Una secuencia aritmética es simplemente una secuencia que se expande o contrae el mismo número de enteros para cada término nuevo. Simple, ¿verdad? En otras palabras, simplemente suma o resta el mismo número una y otra vez. Este número se llama diferencia común y es la clave para establecer si una secuencia es aritmética o no. Por cierto, no tiene que ser un dos, ni tiene que empezar desde cero. Siempre que una secuencia tenga la misma diferencia común, es aritmética. Como puede imaginar, esto es útil para todo, desde dividir un grupo más grande en subgrupos hasta calcular porcentajes. Por ejemplo, 2, 4, 6, 8 y así sucesivamente es una secuencia aritmética.

Un poco más difíciles son las secuencias geométricas . Ahora, digamos que te acabo de pedir que multipliques un número por dos una y otra vez. Esa sería una secuencia geométrica. Eso es cuando simplemente multiplica o divide el último número en una secuencia para obtener el siguiente número. El término para la cantidad por la que multiplicas los términos es la razón común. Esto es útil para predecir eventos futuros, como qué tan lejos saltará una piedra si se arroja al agua, y reduce su distancia en un 50% con cada salto que hace. Por ejemplo, 2, 4, 8, 16, 32 y así sucesivamente es una secuencia geométrica.

Secuencias basadas en objetos

Esas secuencias solo requerían matemáticas básicas, pero existen otras más avanzadas. Las secuencias basadas en objetos son un gran ejemplo de esto. En particular, observe las secuencias cuadradas y las secuencias triangulares. Una secuencia cuadrada sería la siguiente: 1, 4, 9, 16, 25, 36. No hay una diferencia común fácil o una razón común allí. En su lugar, toma el término de la secuencia, o su lugar dentro de la secuencia, y lo cuadra. Se basa en un objeto porque si tuviera que organizar cada número dentro de la secuencia en un conjunto de puntos, podría formar un cuadrado. Si quieres pensar en una secuencia cuadrada en términos de una fórmula, sería x ^ 2, donde x es el término del número en la secuencia.

Podemos hacer lo mismo con las secuencias de triángulos . Tome esta secuencia: 1, 3, 6, 10, 15. Si tuviera que tomar puntos y dibujar una forma, terminaría con un triángulo. Aquí, hay una diferencia común, pero es una diferencia común con un giro. Toma la diferencia del penúltimo término y el último término, luego agrega uno. En otras palabras, la diferencia común siempre cambia, pero la fórmula para encontrarla es constante. Usando esta fórmula, podemos construir números aún mayores. La diferencia de 15 y 10 es 5, así que agregue uno a eso para obtener 6. Agregue 6 a 15 para obtener el siguiente número en la secuencia, 21. Luego, como la diferencia entre 21 y 15 es 6, agregamos uno a eso. para obtener 7, luego sume 7 a 21 para obtener el siguiente número de la secuencia, 28.

Secuencia Fibonacci

A medida que avance en matemáticas, encontrará muchas otras secuencias, pero quería mostrarles una de mis favoritas, y una que es muy común en la naturaleza. Se conoce como secuencia de Fibonacci . Aquí están los primeros números de la secuencia: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. ¡Esa es una secuencia aleatoria! ¿O es eso? Intente sumar dos números adyacentes y obtendrá el término que los sigue inmediatamente. Por ejemplo, 5 y 8 sumados son 13, lo que sucede después de 8. Entonces, ¿qué hace que esto sea tan especial? Bueno, muchas de las formas en la naturaleza tienden a seguir esta secuencia, pero también es la proporción de los términos. Si tuviera que dividir el último término por el penúltimo término, se acercará mucho a este número llamado Proporción áurea. Está en algún lugar alrededor de 1.6 y es físicamente atractivo para nosotros, los humanos. Todo, desde el Partenón hasta el humano idealizado, tiene esta proporción presente.

Resumen de la lección

En esta lección, aprendimos sobre secuencias . Las secuencias son grupos de números que siguen una progresión determinada. Comenzamos observando la diferencia común de secuencias aritméticas y la razón común de secuencias geométricas antes de continuar con las determinaciones basadas en formas de secuencias de triángulos y cuadrados . Por último, examinamos una de las secuencias más intrigantes de la naturaleza al observar la secuencia de Fibonacci .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador