Resolver sistemas de ecuaciones diferenciales
Imagínese una parte distante del país donde la forma de vida es un tipo de ganado que llamaremos la ‘bestia xnay’ que come un cierto tipo de pasto que llamaremos ‘ystrain grass’. El cambio en la población xnay depende de la cepa y, así como del tamaño actual de la población xnay. La población de ystrain también depende de xnay y de la cantidad actual de ystrain. ¡Es una mezcla fascinante! Cuanto más xnay, más cepa se come, lo que reduce la cantidad de ystrain, lo que puede reducir la cantidad de xnay. Menos xnay y la ystrain pueden prosperar. ¡Puede ser muy interesante! Especialmente para el xnay.
 |
Tener una variable cuya tasa de cambio depende de la propia variable conduce a soluciones exponenciales de la ecuación diferencial. Cuando tenemos dos o más variables que también son interdependientes, tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales y la solución es una mezcla de exponenciales. Los problemas de población a menudo se modelan con sistemas de ecuaciones diferenciales. En esta lección, veremos dos métodos de solución.
Describiendo las ecuaciones
Por lo general, hay más de dos variables interrelacionadas en un estudio de población. Los recursos alimenticios, los depredadores, las condiciones climáticas… todos interactuarán con el tamaño de la población y su tasa de cambio. Para simplificar las cosas, veremos dos variables. Esto será suficiente para mostrar las ideas básicas de cómo resolver estos sistemas de ecuaciones. Por ejemplo:
Balanceo de Ecuaciones Químicas por Método Algebraico
 |
con x (0) = 2 e y (0) = 1.
El pequeño punto sobre la x y la y en el lado izquierdo es la derivada del tiempo. La primera ecuación dice que la tasa de cambio en el tiempo de x depende tanto de x como de y . Lo mismo puede decirse de la tasa de cambio en el tiempo de y . Depende tanto de x como de y . Resolviendo estas ecuaciones nos dice cómo x e y evolucionan con el tiempo. El enunciado x (0) = 2 significa que en el tiempo t = 0, la población de xnay era 2. La población de ystrain era 1 en el tiempo t = 0.
Usaremos los métodos de autovalor y transformada de Laplace para resolver este sistema de ecuaciones. Está invitado a consultar otras lecciones sobre álgebra lineal y transformadas de Laplace para obtener más detalles.
Resolver usando valores propios
Escribimos las ecuaciones en forma de matriz:
 |
La matriz se llama ‘matriz A’. En general, se puede agregar otro término a estas ecuaciones. Sin otro término, las ecuaciones se denominan ecuaciones homogéneas . Solo veremos el caso homogéneo en esta lección.
El siguiente paso es obtener la ecuación característica calculando el determinante de A – λI = 0. Los detalles:
¿Qué es la Ecuación de la Energía en Termodinámica?
 |
Esto nos dice que λ es -3 y -2. Estos son los valores propios de nuestro sistema. A veces, los valores propios se repiten y otras veces son valores propios complejos conjugados. En nuestro ejemplo, tenemos dos valores propios distintos y reales. No cubriremos los otros casos en esta lección. Cada uno de estos valores propios tiene un vector propio. Para λ = -3, el vector propio se calcula:
 |
La ecuación que relaciona a con b es 4 a – 3 b = 0. Elegimos un valor para una de las letras. Por ejemplo, dejar b = 1 significa a = ¾. El vector propio v1 es
 |
Para λ = -2, el cálculo del vector propio es:
 |
Las ecuaciones resultantes son 3 a – 3 b = 0 y 4 a – 4 b = 0. Estas ecuaciones son verdaderas para a = b . Nuevamente, elegimos un valor. Si a = 1, entonces b = 1. El vector propio v2 es
 |
¡Ahora tenemos una solución! En general, la solución es
 |
donde λ1 es -3 y λ2 es -2.
Sustituyendo nuestros autovalores y autovectores:
 |
Ahora podemos escribir la x y la y por separado:
 |
¡Casi terminamos! Las constantes C1 y C2 se obtienen de los valores de x y y en el momento t = 0. Sustituyendo la t con un 0 da
 |
Resolver para c1 y c2 da c1 = -4 y c2 = 5. Sustituyendo estos valores por c1 y c2 obtenemos
 |
Si este ejemplo fueron modelando el xnay, habrían extinguido porque como t se hace más grande, x tiende a cero. Como prueba, veamos otro método para resolver los mismos sistemas de ecuaciones. Y tal vez las bestias xnay se adapten a algunos tipos adicionales de comida de pasto.
Resolver usando la transformada de Laplace
Este segundo método utiliza la transformada de Laplace. Nuevamente, si se trata de material desconocido, se le invita a ver otras lecciones para obtener más detalles.
Comenzamos tomando la transformada de Laplace de ambas ecuaciones:
 |
Sustituyendo x (0) y y (0):
 |
Resolviendo para X (S) en la primera ecuación, sustituyendo este resultado por X (S) en la segunda ecuación y resolviendo para Y (S):
 |
Usamos expansión de fracción parcial para escribir
 |
Tomar la transformada inversa de Laplace nos da
 |
Esto concuerda con nuestro resultado anterior. Ahora para encontrar x (t).
Empezamos con dos ecuaciones. Si tomamos la segunda ecuación y la resolvemos por x obtenemos
 |
La sustitución de y nos da:
 |
Estos resultados concuerdan con el método de valores propios. Es bueno tener más de una fuente para obtener una respuesta. Y afortunadamente, existen otras fuentes de alimentos para la población xnay.
Resumen de la lección
Dos o más ecuaciones que involucran tasas de cambio y variables interrelacionadas es un sistema de ecuaciones diferenciales . Estos sistemas se pueden resolver utilizando el método de valores propios y el método de la transformada de Laplace .
Explora más sobre este tema
Selecciona un tema y sigue aprendiendo...
