La ley de los cosenos
La trigonometría tiene muchas fórmulas útiles. En esta lección de video, vamos a discutir la ley de los cosenos . Esta útil fórmula se utiliza para resolver triángulos de todo tipo. Como sabe, nuestras funciones trigonométricas de seno, coseno y tangente tienen sus inicios en un triángulo rectángulo.
Bueno, al profundizar en la trigonometría y sus funciones, podemos usar nuestras funciones trigonométricas para ayudarnos a resolver no solo triángulos rectángulos, sino también otros tipos de triángulos. Nos abre una puerta completamente nueva. ¿Estás listo para profundizar en esta ley de los cosenos? ¡Bueno! Vamonos. Empezamos con la fórmula:
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¿Ve algún parecido con otra fórmula popular con la que trata con bastante regularidad? Así es, el teorema de Pitágoras: a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Sin embargo, aquí hay algunas diferencias, pero ver la conexión entre esta ley de los cosenos y el teorema de Pitágoras te ayudará a recordarlo.
Una vez que tenga la una , b , y c abajo, lo que queda es el 2 ab cos ( C ). Esto también puede ser fácil de recordar, si nota que tiene las tres letras en orden. Tenemos a , b y luego c . Y como este es el segundo conjunto de a , b y c , tenemos un número dos al frente. En lugar de sumar esta parte, la restamos. Haga todo lo posible por recordar esta fórmula. ¿Puedes pensar en otras ayudas para la memoria que te ayuden?
Una diferencia más es que una , b , y c en la ley de los cosenos todos se refieren a diferentes lados de un triángulo. Ya no hay hipotenusa ya que estamos tratando con triángulos de todo tipo, no solo con triángulos rectángulos. La gran C dentro del argumento del coseno representa el ángulo opuesto al lado c :
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Usos del mundo real
Esta ley de los cosenos es muy útil en el mundo real en el que intervienen triángulos. ¿Dónde están involucrados los triángulos en el mundo real? Los topógrafos usan triángulos para calcular una distancia desconocida donde conocen las otras dos distancias del triángulo.
La belleza de la ley de los cosenos se puede ver cuando se quiere encontrar la ubicación de un incendio, por ejemplo. Ves el fuego a lo lejos, pero no sabes qué tan lejos está. Sin embargo, a la izquierda del fuego hay un restaurante de comida rápida que sabes que está exactamente a 1 milla de distancia.
Un amigo suyo que está en otro lugar le dice que el fuego está a 2 millas de distancia del restaurante de comida rápida. Tu amigo también te dice que el ángulo en el restaurante de comida rápida que está formado por el lugar donde estás parado y donde está el fuego es igual a 54 grados.
Como conoces dos lados del triángulo, junto con el ángulo opuesto a tu lado desconocido, puedes usar la ley de los cosenos para ayudarte a calcular ese tercer lado:
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Ejemplo 1
Sigamos adelante y solucionemos este problema como nuestro primer ejemplo. Conocemos dos lados del triángulo. Uno mide 1 milla y el otro mide 2 millas. El tercer lado es el lado que estamos buscando. El ángulo opuesto a este lado es de 54 grados.
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Podemos usar nuestra ley de los cosenos para ayudarnos a resolver esto. Debido a que este no es un triángulo especial como un triángulo rectángulo, podemos etiquetar nuestros lados arbitrariamente. Como buscamos nuestro tercer lado, etiquetaremos nuestro tercer lado como c . Podemos etiquetar los otros dos lados con una y b .
No importa de qué lado sea cuál, siempre que mantengamos los lados rectos después de haberlos etiquetado. Etiquetaremos el lado de 1 milla como a y el lado de 2 millas como b . Nuestro ángulo C es entonces 54. Ahora, podemos insertar todos estos números en nuestra fórmula para la ley de los cosenos:
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Todo lo que queda por hacer ahora es evaluar nuestra fórmula para encontrar nuestra respuesta. Obtenemos c ^ 2 = 1 + 4 – 4 * cos (54) = 5 – 2,35 = 2,65. Tomando la raíz cuadrada, obtenemos c = 1.63 millas. Entonces, el fuego está a 1,63 millas de donde estás.
Ejemplo 2
Veamos otro ejemplo. Estás parado a 10 pies de distancia de un árbol de 30 pies de altura. Debes averiguar cuánto tiempo de escalera necesitas para ir desde donde estás hasta la cima del árbol.
Este árbol resulta ser un árbol frutal, un ciruelo para ser exactos. Y en la parte superior de este árbol, hay una ciruela gigante lista para la recolección. El ángulo que forma la base del árbol entre usted y la parte superior del árbol es de 90 grados.
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Para calcular la longitud de una escalera que necesita, podemos usar nuevamente nuestra ley de cosenos. Podemos etiquetar los 10 pies como un y los 30 pies como b . Nuestra c es la longitud de la escalera. Nuestra gran C es 90. Al insertar estos valores en nuestra fórmula, obtenemos esto:
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Al evaluar esto, obtenemos c ^ 2 = 100 + 900 – 600 * cos (90) = 100 + 900 – 600 * 0 = 1000. Tomando la raíz cuadrada, obtenemos c = 31.62 pies. Entonces, necesitamos una escalera de 31.62 pies de largo.
Resumen de la lección
Repasemos lo que hemos aprendido. La ley de los cosenos es una fórmula útil que se usa para resolver triángulos de todo tipo. La fórmula para la ley de los cosenos es c ^ 2 = un ^ 2 + b ^ 2 – 2 ab cos ( C ), donde a , b , y c son los lados del triángulo y la gran C es el ángulo opuesto al c lado.
Los topógrafos utilizan la ley de los cosenos en el mundo real para encontrar el lado faltante de un triángulo, donde se conocen los otros dos lados y se conoce el ángulo opuesto al lado desconocido. La ley de los cosenos también se usa cuando hay un triángulo involucrado.
Para utilizar la ley de cosenos fórmula, que sólo tiene que conectar en nuestras dos lados conocidos en un y b , y luego nuestro ángulo en C . Para encontrar la respuesta, evaluamos la fórmula para encontrar nuestro c .
Los resultados del aprendizaje
El estudio de esta lección en video puede ayudarlo a lograr los siguientes objetivos:
- Enunciar el propósito de la ley de los cosenos.
- Usa la ley de los cosenos para resolver la longitud faltante de un triángulo
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