Separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales del sistema

Primer problema de ecuación diferencial

Pensemos por un minuto en el científico loco de alguna película que intenta conquistar el mundo. ¿Alguna vez has notado que sus planes, sus viles planes, siempre fallan por alguna razón? Muy a menudo, muestran algunas sustancias químicas burbujeando en un vaso de precipitados en algún lugar, así que creo que sus cobardes planes fallan porque no entiende lo que entienden los químicos y los ingenieros químicos, es decir, no entiende las ecuaciones diferenciales.

Usar la velocidad para encontrar la posición de Super C en algún momento

Recuerde que una ecuación diferencial relaciona una variable con su tasa de cambio. Así que pensemos en una reacción química. Ahora, ingeniero y químico, entienden que puedes escribir la cantidad de químico que tienes, llamémoslo A , cómo cambia en función del tiempo. Entonces tienes dA / dt . dA / dt = – kA . Entonces, en este caso, lo que está haciendo es arrojar el químico A en una olla y dejar que reaccione. Y va a reaccionar con una velocidad k multiplicada por la concentración de A , donde kpuede ser cualquier número que desee. Las personas que entienden las ecuaciones diferenciales pueden tomar esta ecuación diferencial y determinar a partir de ella la concentración de A en función del tiempo. Entonces, ¿puedes escribir A en función del tiempo?

Segundo problema de ecuación diferencial

Bueno, volvamos atrás y pensemos primero en las ecuaciones con las que estamos más familiarizados. Digamos que estamos mirando a Super C, la bala de cañón humana. Sabemos que Super C comienza a una altura de 0 en el tiempo t = 0. Cuando lo disparas fuera del cañón, se dispara a 13 metros por segundo, directamente hacia arriba. Esto significa que su velocidad hacia arriba es de 13 metros por segundo. Sin embargo, siempre lo tira hacia abajo la gravedad, que es de 9,8 metros por segundo, al cuadrado, hacia abajo. Entonces, dada toda esta información, ¿podemos determinar su altura en función del tiempo? Bueno, primero lo arrastra la gravedad, que es una aceleración de -9,8 metros por segundo al cuadrado. La aceleración no es más que el cambio de velocidad a lo largo del tiempo.= -9,8. Es negativo porque siempre está siendo atraído hacia la Tierra. Ahora, si quiero usar esta ecuación para encontrar su velocidad real en función del tiempo, voy a multiplicar ambos lados por dt e integrar. Bueno, sé cuál es la integral de dv ; es solo v . Y sé cuál es la integral de -9,8 dt ; es -9,8 t . Tengo que agregar una constante de integración aquí, porque no estoy integrando durante un tiempo establecido, solo estoy tomando una integral indefinida. Así que termino con la velocidad es igual a -9.8 t , además de mi constante, C .

El concepto de separación de variables se utiliza en el problema Super C

Ahora bien, si realmente quiero saber dónde está en un momento dado, necesito determinar qué es C. Entonces, ¿qué sé yo? Sé que su velocidad cuando fue disparado fuera del cañón, por lo que su velocidad en el tiempo = 0, era igual a 13. Entonces, si introduzco 13 para v y 0 para t , encuentro que esta constante, C , debe ser igual a 13. Bien, tenemos su velocidad en función del tiempo. Velocidad = -9.8 t + 13. ¿Puedo encontrar su posición a partir de esto? Bueno, su velocidad es dx / dt , es lo rápido que cambia su posición con respecto al tiempo. Entonces, si establezco esto igual a dx / dt y multiplico ambos lados de la ecuación por dt, Puedo integrar y encontrar la integral de dx igual a la integral de (-9.8 t + 13) dt . Bueno, x = -4,9 t ^ 2 + 13 t , más mi constante de integración. Una vez más, si quiero saber dónde está en un momento dado, no puedo dejar esta constante de integración aquí. Necesito resolver C de alguna manera. Bueno, sé que en el momento t = 0, estaba a 0 de altura; estaba a punto de ser disparado por el cañón, o estaba empezando a salir disparado del cañón, entonces en t = 0, x = 0, entonces C tiene que ser 0. Sé que su posición, su altura, en función del tiempo, es igual a -4,9t ^ 2 + 13 t . Entonces, ¿qué hice exactamente aquí, aparte de averiguar qué tan alto estaba en un momento determinado?

Bueno, resolví una ecuación diferencial. En particular, resolví la ecuación, la segunda derivada de x con respecto al tiempo es igual a -9.8, y resolví eso para x en función del tiempo sujeto a lo que voy a llamar las condiciones iniciales x = 0 y dx / dt = 13. Es decir, x = 0, y la velocidad es igual a 13 cuando el tiempo es igual a 0; por lo tanto, son las condiciones iniciales. Entonces, ¿qué tiene todo esto que ver con la determinación de la concentración de la sustancia química A para evitar el destino cobarde de nuestro científico loco cobarde? Bueno, aquí está mi ecuación diferencial: dA / dt = – kA . Para resolver esto, para encontrar Aen función del tiempo, necesito integrarme. Pero para integrar, necesito tener t en un lado de la ecuación y A en el otro. Si solo multiplico ambos lados por dt , todavía tengo una A en este lado de la ecuación.

Aplicar el concepto de separación de variables al ejemplo de ecuación química

Separación de variables

Entonces este punto se conoce como separación de variables . La separación de variables significa que vamos a reescribir una ecuación diferencial, como dx / dt , de modo que x esté solo en un lado de la ecuación y t solo en el otro. Es como hacer una ecuación explícita. No todas las ecuaciones diferenciales se pueden separar. Por tanto, no todas las ecuaciones se pueden resolver explícitamente; algunas ecuaciones están implícitas. Lo mismo ocurre con las ecuaciones diferenciales. Pero cuando puede escribirlos explícitamente, con x en un lado yt en el otro, puede usar este concepto de separación de variables.

De hecho, lo hicimos con Super C. Teníamos dv / dt = -9.8. Obtenemos t en un lado de la ecuación multiplicando ambos lados por dt . Cuando tuvimos nuestra velocidad, de nuevo obtuvimos t limitado a este lado de la ecuación multiplicándolo por dt . Así que terminamos con x en un lado y t en el otro. ¿Podemos hacer esto para nuestra ecuación química dA / dt = – kA ? Bueno, si divido ambos lados por A y multiplico ambos lados por dt , mi ecuación se convierte en dA / A = – kdt . Así que aquí, A se limita al lado izquierdo yt está limitado en el lado derecho. Puedo integrar esto como lo hice para Super C, así que tengo la integral de 1 / A da es igual a la integral de – kdt . Bueno, la integral de 1 / A es el logaritmo natural de A , y la integral de – k es – kt . Aquí está mi constante de integración que tengo que incluir, porque no estoy tomando ningún límite en estas integrales. Así que termino con ln A = – kt + C . Ya casi está ahí, pero realmente quiero A en función de t , no el logaritmo natural de A en función de t, entonces voy a tomar ambos lados de esta ecuación y llevaré e elevado a la potencia del lado izquierdo ye a la potencia del lado derecho, de modo que este lado izquierdo se convierta en A , y este lado derecho se convierta en e ^ (- kt ) + C . Ahora, si sabía lo que una fue dada por alguna C , podría resolver esto y deshacerse de esa C .

El proceso de resolución del problema final.

Digamos que tenemos un valor inicial nuevamente. Digamos que en el tiempo t = 0, la concentración de A era igual a 1. Entonces puedo reemplazar 0 por t , y obtengo e ^ 0 + C = 1, porque la concentración es 1 en t = 0. Esto significa que e ^ C es igual a 1. Bueno, podría tomar el logaritmo natural de eso, pero en su lugar usemos lo que sé sobre exponenciales y escribamos e ^ (- kt + C ) = e ^ ( C ) * e ^ (- kt ). Así que acabo de dividir este exponencial. Bueno e ^C , acabamos de determinar, es 1. Pero es importante no saber que e ^ C sigue siendo solo un número constante a una potencia constante. Entonces e ^ C podría escribir simplemente como una variable constante diferente. Llamémoslo C sub 2. Entonces sé incluso antes de usar mi valor inicial que la concentración A = C sub 2 * e ^ (- kt ). Ahora bien, si uso la concentración de A en el tiempo igual a 0 es 1, entonces obtengo A = e ^ (- kt ).

Resumen de la lección

Así que repasemos. Las ecuaciones diferenciales están absolutamente en todas partes en física. Relacionan una variable con su tasa de cambio, como la posición de Super C con su velocidad y la concentración de nuestra sustancia química con la tasa a la que se está agotando. A menudo, podemos resolver estas ecuaciones diferenciales utilizando una separación de variables . En la separación de variables, dividimos las variables independientes y dependientes en diferentes lados de la ecuación. En el caso de Super C, dividimos todo lo que dependía de t al lado derecho y la velocidad, o su posición, al lado izquierdo, por lo que todas las x estaban a la izquierda y todas las t ‘ s estaban a la derecha. En el caso de la concentración, ponemos todos losA , es decir, todas las variables de concentración, a la izquierda, y todas las variables de tiempo, todas las t , a la derecha.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador