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Teorema del valor intermedio: ejemplos y aplicaciones

Publicado el 1 octubre, 2020

Usando el teorema del valor intermedio

El valor intermedio teorema dice que si tiene alguna función f (x) y que la función es una función continua , entonces si vas de un a B a lo largo de esa función, usted va a golpear cada valor en algún lugar de esa región ( a a b ). Bueno, ¿por qué es útil esto? Esto le ayuda a aprender mucho sobre las funciones sin tener que graficarlas.

Por ejemplo, si tiene la función f (x) = x ^ 3 + x ^ 2, puede comenzar a ver qué es igual a f (x) para varios valores de x , como si x = 0, entonces f ( x) = 0 ^ 3 + 0 ^ 2, o simplemente cero. Cuando x = 1, f (x) = 1 ^ 3 + 1 ^ 2, o 2. Cuando x = 2, f (x) = 2 ^ 3 + 2 ^ 2, que es 12.

X f (x)
0 0
1 2
2 12

Bien, genial, tienes esta tabla aquí de valores xy valores f (x) . Bueno, sabemos que f (x) es una función continua, por lo que podemos usar estos datos para determinar que f (x) será igual a 1 en algún lugar entre 0 y 1. ¿Cómo sabemos esto? Bueno, f (0) = 0 y f (1) = 2, por lo que algún valor entre 0 y 1 me dará f (x) = 1. Otro ejemplo es f (x) = 10. Bueno, para qué valor de x no f (x) = 10? No lo sé, en realidad no está en mi gráfico, pero sé que f (1) = 2 y f (2) = 12, por lo que algún valor entre 1 y 2 me dará f (x)= 10. Puedo graficar esto para verificar que f (x) = 1 entre 0 y 1, y f (x) = 10 entre 1 y 2.


Gráfica del problema f (x) = 4x – x ^ 2-3
Gráfico de encontrar las raíces

Encontrar las raíces

Veamos otro ejemplo. En este ejemplo, encontraremos raíces de una ecuación. Entonces digamos que tenemos f (x) = 4 xx ^ 2 – 3. Queremos saber cuándo f (x) = 0. A esto se le llama encontrar las raíces de f (x) . Al igual que en el último ejemplo, vamos a hacer una tabla con x y f (x) . Cuando x = 0, f (x) = -3, porque tenemos (4) (0) – 0 ^ 2 – 3. Cuando x = 2, f (x) = 1. Cuando x = 4, f (x) = -3.

X f (x)
0 -3
2 1
4 -3

Entonces, ¿esto nos dice cuándo f (x) será igual a cero? Bueno, echemos un vistazo a los tres valores que calculamos y pongámoslos en un gráfico. Entonces tengo f (x) y x . Cuando x = 0, f (x) = -3. Cuando x = 2, f (x) = 1. Cuando x = 4, f (x) = -3. Ahora que sé que 4 xx ^ 2 – 3 es una función continua, sé que para pasar de -3 a 1, mi función tiene que viajar a través de f (x) = 0. Del mismo modo, para pasar de 1 a -3, f (x) tiene que pasar por cero. Entonces, en algún momento, entre 0 y 2, tengo una raíz: hay algún lugar donde f (x)= 0 para un valor de x entre 0 y 2. De manera similar, entre 2 y 4, sé que f (x) será igual a cero en algún punto, por lo que hay un valor de x entre 2 y 4. Sé que para esta ecuación en particular, tener al menos dos raíces: una entre 0 y 2, y otra entre 2 y 4. Aún podríamos haber resuelto ese problema factorizando, así que ¿qué pasa con otro ejemplo?

Encontrar las raíces como solución


La solución al problema del ejemplo final
Encontrar una solución de raíces

¿Qué hay de tratar de encontrar una solución a x ^ 2 = cos ( x )? No hay f (x) aquí, así que, ¿por dónde empezamos? Bueno, primero restemos x ^ 2 de ambos lados, así obtenemos 0 = cos ( x ) – x ^ 2. Si en lugar de decir 0, llamé a esto f (x) , entonces estoy tratando de encontrar las raíces de la ecuación cos ( x ) – x ^ 2. Y esto lo sé hacer, así que hagamos una mesa. Cuando x = 0, f (x) = cos (0) – 0 ^ 2, o 1. Cuando x = pi , f (x) = cos ( pi ), que es -1, – pi^ 2. Así que voy a dejar esto como -1 – pi ^ 2. Tracemos estos dos puntos. Primero, tengo f (x) = 1 cuando x = 0, luego tengo en x = pi , f (x) = -1 – pi ^ 2. Nuevamente, esta es una función continua, por lo que en algún lugar entre 0 y pi , esto debe tener al menos una solución. La respuesta ax ^ 2 = cos ( x ) va a ser un valor de x entre 0 y pi .

Resumen de la lección

Revisemos. El valor intermedio teorema dice que si vas entre una y B a lo largo de una cierta función continua f (x) , entonces para cada valor de f (x) entre f (a) y f (b) , hay alguna solución. Si voy entre una y b , voy a golpear cada valor entre f (a) y f (b) .

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