Teoría de la probabilidad básica: reglas y fórmulas

Publicado el 15 septiembre, 2020

Conceptos básicos de probabilidad

La probabilidad se define como un número entre 0 y 1 que representa la probabilidad de que ocurra un evento. Una probabilidad de 0 indica que no hay posibilidad de que ocurra ese evento, mientras que una probabilidad de 1 significa que el evento ocurrirá. Si estás trabajando en un problema de probabilidad y obtienes una respuesta negativa, o una respuesta mayor que 1, ¡has cometido un error! Regresa y revisa tu trabajo.

Visualización de la probabilidad

Hay varias formas de visualizar probabilidades, pero la forma más fácil de pensar en ellas es utilizar el método de fracción : convierta los términos en una fracción dividiendo el número de resultados deseables por el número total de resultados posibles. Esto siempre le dará un número entre 0 y 1. Por ejemplo, ¿cuáles son las posibilidades de sacar un número impar en un dado de 6 caras? Hay un total de seis números y tres números impares: 1, 3 y 5. Entonces, la probabilidad de sacar un número impar es 3/6 o 0,5. Puede utilizar esta fórmula cuando realice cálculos más difíciles, como veremos más adelante en la lección.

En esta fórmula:

  • P (A) se lee como ‘la probabilidad de A ‘, donde A es un evento que nos interesa.
  • P (A | B) se lee como ‘la probabilidad de que A dado B ocurra’.
  • P (no A) se lee como ‘la probabilidad de que no sea A ‘, o ‘la probabilidad de que A no ocurra’.

Reglas de probabilidad

Hay tres reglas principales asociadas con la probabilidad básica: la regla de la suma, la regla de la multiplicación y la regla del complemento. Puede pensar en la regla del complemento como la ‘regla de resta’ si le ayuda a recordarla.

1.) La regla de la suma : P (A o B) = P (A) + P (B) – P (A y B)

Si A y B son eventos mutuamente excluyentes , o aquellos que no pueden ocurrir juntos, entonces el tercer término es 0 y la regla se reduce a P (A o B) = P (A) + P (B) . Por ejemplo, no puede lanzar una moneda y hacer que salga cara y cruz en un solo lanzamiento.

2.) La regla de la multiplicación : P (A y B) = P (A) * P (B | A) o P (B) * P (A | B)

Si A y B son eventos independientes , podemos reducir la fórmula a P (A y B) = P (A) * P (B) . El término independiente se refiere a cualquier evento cuyo resultado no se vea afectado por el resultado de otro evento. Por ejemplo, considere el segundo de dos lanzamientos de moneda, que todavía tiene una probabilidad de .50 (50%) de caer cara, independientemente de lo que haya ocurrido en el primer lanzamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que, durante los dos lanzamientos de monedas, salga cruz en el primer lanzamiento y cara en el segundo?

Realicemos los cálculos: P = P (cruz) * P (caras) = ​​(0.5) * (0.5) = 0.25

3.) La regla del complemento : P (no A) = 1 – P (A)

¿Ves por qué la regla del complemento también se puede considerar como la regla de la resta? Esta regla se basa en la naturaleza mutuamente excluyente de P (A) y P (no A) . Estos dos eventos nunca pueden ocurrir juntos, pero uno de ellos siempre tiene que ocurrir. Por lo tanto, P (A) + P (no A) = 1. Por ejemplo, si el meteorólogo dice que hay 0.3 probabilidades de que llueva mañana, ¿cuáles son las probabilidades de que no llueva?

Hagamos los cálculos: P (sin lluvia) = 1 – P (lluvia) = 1 – 0.3 = 0.7

Ley de probabilidad total

Ley de probabilidad total : P (A) = P (A | B) * P (B) + P (A | no B) * P (no B)

Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que el color favorito de una persona sea azul si sabe lo siguiente?

  • Las personas zurdas tienen el azul como color favorito el 30% del tiempo
  • A las personas diestras les gusta el azul el 40% del tiempo
  • Las personas zurdas constituyen el 10% de la población

Completemos la ecuación:

1.) P (azul) = P (zurdo) * P (como azul | zurdo) + P (no zurdo) * (P (como azul | no zurdo)

2.) P (azul) = (0.1) (0.3) + (0.9) (0.4)

3.) P (azul) = .03 + .36 = 0.39

Por lo tanto, la probabilidad de que el color favorito de una persona sea el azul es del 39%.

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes es un método para trabajar con propiedades condicionales. Se afirma que:

P (A | B) = {P (B | A) * P (A)} / P (B)

Usando la ley de probabilidad total para expandir el teorema de P (B) Bayes, también podemos escribir:

P (A | B) = {P (B | A) * P (A)} / {P (A) * P (B | A) + P (no A) * P (B | no A)}

Puede usar el teorema de Bayes para calcular P (A | B) cuando tiene información limitada sobre otras cantidades. Por ejemplo, digamos que un ciclista seleccionado al azar en el Tour de Francia ha dado positivo por drogas que mejoran el rendimiento. La prueba tiene una precisión del 95%. ¿Qué posibilidades hay de que este atleta participe en una actividad ilegal si el 1% de los atletas hace trampa de esta manera?

Configuremos nuestra ecuación y realicemos los cálculos:

1.) P (Tramposo | Positivo) = {P (Positivo | Tramposo) * P (Tramposo)} / {P (Positivo | Tramposo) * P (Tramposo) + P (Positivo | no Tramposo) * P (no Tramposo) }

2.) P (Trampa | Positivo) = (0.95) (0.01) / {(.95) (. 01) + (. 05) (. 99)}

3.) P (trampa | Positivo) = .0095 / .0095 + .0495

4.) P (trampa | Positivo) = .0095 / .059

5.) P (Hacer trampa | Positivo) = .1610

Luego seguimos las reglas matemáticas para convertir un decimal en una fracción y completamos la operación:

100% – 16,1% = 83%

Aunque la prueba es bastante precisa y este piloto dio positivo, nuestros resultados nos brindan una respuesta diferente a la que esperábamos. Después de calcular la probabilidad, ¡hay un 83% de posibilidades de que este ciclista no esté haciendo nada ilegal!

Resumen de la lección

La probabilidad se refiere a un número entre 0 y 1 e involucra eventos mutuamente excluyentes o independientes. Los eventos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismo tiempo, mientras que los eventos independientes no afectan la probabilidad de los demás.

Hay tres reglas básicas asociadas con la probabilidad: las reglas de suma, multiplicación y complemento.

  • La regla de la suma se usa para calcular la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B; lo expresamos como: P (A o B) = P (A) + P (B) – P (A y B)
  • La regla de la multiplicación se usa para determinar la probabilidad de que ocurran los eventos A y B; lo expresamos como: P (A y B) = P (A) * P (B | A) o P (B) * P (A | B)
  • La regla del complemento establece que P (no A) = 1 – P (A)

La ley de la probabilidad total puede facilitar el cálculo de la probabilidad cuando se dan otros hechos determinados; lo expresamos como:

P (A) = P (A | B) * P (B) + P (A | no B) * P (no B)

También podemos usar el teorema de Bayes para calcular probabilidades condicionales:

P (A | B) = {P (B | A) x P (A)} / P (B)

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