Verificación de la identidad de una ecuación trigonométrica

Una identidad de ecuación trigonométrica

Una identidad de ecuación trigonométrica es una ecuación trigonométrica que se considera verdadera. Piense en ellos como sus ecuaciones regulares. Tienen un signo igual y se supone que son verdaderos. Piense en lo que significa ser una ecuación. ¿No significa que los dos lados son siempre iguales? Sí, el lado izquierdo siempre debe ser igual al lado derecho. Para nuestras identidades de ecuaciones trigonométricas, en lugar de números o variables, tendremos nuestras funciones trigonométricas de seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Entonces, en lugar de ver 3 = 1 + 2, veremos cotangente = 1 / tangente.

Esta lección en video trata sobre probar o verificar estas identidades. ¿Como hacemos eso? Hacemos esto trabajando solo en un lado de la ecuación a la vez. Trabajamos en un lado de la ecuación y trabajamos para cambiarlo para que se vea como el otro lado. ¿Como hacemos eso? Hacemos eso usando nuestras identidades trigonométricas básicas que sabemos con certeza son verdaderas y sustituyéndolas siempre que sea posible.

Nuestras Identidades Básicas

¿Cuáles son algunas identidades trigonométricas básicas que podemos usar para ayudarnos a probar nuestras identidades de ecuaciones trigonométricas? Estos incluyen nuestras identidades recíprocas de nuestras funciones trigonométricas.

También tenemos nuestras identidades cocientes.

También incluye nuestras identidades pitagóricas, así como nuestras identidades pares e impares.

También existen otras identidades. Desafortunadamente, no hay espacio en esta lección para enumerarlos todos. Si aún no ha memorizado estas identidades trigonométricas comprobadas, ahora es su oportunidad de comenzar. Verá lo fácil que le resultará la vida de resolución de problemas.

Ejemplo 1

Echemos un vistazo a un par de ejemplos para ver cómo podemos usar nuestras identidades básicas para ayudarnos a probar otras identidades de ecuaciones trigonométricas. Comenzamos con esta ecuación:

sin ( x ) csc ( x ) = 1

La forma en que trabajamos estos problemas es que comenzamos con el lado más complicado para ver si podemos simplificarlo para que se vea como el otro lado más simple. Para este problema, el lado más complicado es el lado izquierdo. Entonces comenzaremos por ahí. Recuerde, dado que estamos tratando de probar o verificar la identidad de esta ecuación, trabajamos solo con un lado. Dejamos el otro lado completamente solo. Nuestro objetivo es llegar al otro lado, para que nunca lo toquemos. Vamos a empezar.

Miramos nuestro lado izquierdo y pensamos, ¿qué podemos hacer para ayudarnos a simplificar esto? La forma más fácil de comenzar es reescribir todo en términos de coseno y seno. Tenemos una función sinusoidal, ¡genial! Tenemos una función cosecante. Bueno. Podemos reescribir eso en términos de la función seno, ya que sabemos que la identidad de la función cosecante es el recíproco de la función seno. Entonces, ahora tenemos esto:

Ahora bien, ¿cómo podemos simplificar esto aún más? Vemos que tenemos un seno dividido por un seno. Bueno, ¿no podemos cancelarlos? Si podemos. Haciendo eso, ¿qué obtenemos? Obtenemos 1. ¡Woohoo! ¡Lo hicimos!

Nuestra respuesta entonces es toda nuestra cadena de trabajo. Cada paso es parte de la respuesta. Lo que ve aquí es nuestra respuesta completa.

Ejemplo 2

Probemos con otro.

cot ( x ) sin ( x ) = cos ( x )

El lado izquierdo es más complicado, por lo que trabajaremos en ese lado. Nuevamente, reescribimos todo en términos de coseno y seno. Vemos una función cotangente, que sabemos que es lo mismo que el coseno sobre el seno. Entonces tenemos esto:

¡Oye, tenemos un seno en el numerador y denominador! Podemos cancelarlos. ¿Qué nos queda? ¡Coseno! ¡Lo hicimos de nuevo! Entonces nuestra respuesta completa es esta:

Como ha visto, todo lo que estamos haciendo es sustituir nuestras identidades básicas conocidas. La parte más difícil ahora es saber cómo se cancelarán o simplificarán las cosas. Pero como ha visto, tan pronto como comienza a trabajar en ello, el problema de alguna manera comienza a resolverse para usted. A veces, se necesita un poco de prueba y error. Pero eventualmente encontrarás tu respuesta.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido ahora. Aprendimos que una identidad de ecuación trigonométrica es una ecuación trigonométrica que se considera verdadera. Esta lección en video nos enseñó cómo probar o verificar estas identidades de ecuaciones. El primer paso para probar nuestras identidades de ecuación trigonométrica es comenzar con el lado más complicado en el que trabajar. Luego reescribimos todo en términos de coseno y seno para ver qué podemos simplificar. Luego seguimos trabajando y sustituyendo nuestras identidades trigonométricas básicas hasta llegar a nuestro otro lado. Nuestra respuesta completa incluye todos los pasos que dimos para que un lado coincida con el otro.

Los resultados del aprendizaje

Mida su capacidad para hacer las siguientes cosas cuando concluya la lección:

• Definir la identidad de la ecuación trigonométrica
• Identificar las identidades trigonométricas básicas
• Demuestre o verifique las identidades de las ecuaciones trigonométricas