Espacio-tiempo de Minkowski: Diagrama y formula

¿Qué es el espacio de Minkowski?

La geometría sólida o ser físico es un espacio tridimensional, como un cubo con dimensiones de largo, ancho y alto. Muchos problemas no se pueden resolver usando solo el espacio tridimensional. Estos problemas requieren una dimensión adicional, que se denomina cuarta dimensión. La temperatura, por ejemplo, puede ser la cuarta dimensión en problemas relacionados con aviones. Uno puede usar el álgebra para resolver relaciones complicadas en geometría que se ocupan de un espacio de cuatro dimensiones.

El espacio de Minkowski es un espacio de cuatro dimensiones que contiene dimensiones del ser físico y el tiempo como cuarta dimensión. Un espacio de Minkowski poseerá una métrica de Minkowski. La combinación del ser físico y el tiempo se llama espacio-tiempo. El ser físico se refiere a las dimensiones con respecto a la longitud, la anchura y el grosor. Un continuo espacio-tiempo es un espacio concebido como un continuo del ser físico y el tiempo en el que los eventos físicos pueden ubicarse exactamente.

Un espacio fundamental de la geometría que representa el espacio físico es el espacio euclidiano, que introdujeron los antiguos geómetras griegos. El antiguo matemático griego Euclides recopiló el trabajo sobre el espacio euclidiano en el conjunto de libros llamado Elementos. El espacio de Minkowski es diferente del espacio euclidiano porque el espacio de Minkowski unifica el espacio tridimensional euclidiano con el tiempo. La teoría de la relatividad especial de Einstein utiliza el espacio de Minkowski, también conocido como espacio-tiempo de Minkowski. La teoría del electromagnetismo de Maxwell y otras aplicaciones en física matemática utilizaron por primera vez el espacio de Minkowski.

Historia espacial de Minkowski

Hermann Grassmann y Georg Friedrich Riemann fueron dos de los primeros matemáticos que introdujeron aplicaciones matemáticas a la geometría con cuatro o más dimensiones. Un matemático llamado Hermann Minkowski estudió un caso especial relacionado con un punto que se mueve en el espacio, siendo la cuarta dimensión el tiempo. En su estudio, utilizó las tres dimensiones de la geometría sólida para fijar el punto de intersección. El trabajo de Hermann Minkowski generó el concepto de espacio-tiempo.

Uno de los usos más famosos del espacio de Minkowski es su uso en la teoría de la relatividad de Albert Einstein, que el físico desarrolló a principios del siglo XX. El espacio-tiempo de Minkowski fue la base matemática de la teoría de la relatividad. El concepto de espacio-tiempo es necesario porque el espacio y el tiempo están conectados.

¿Qué es un diagrama de espacio-tiempo?

Un tipo especial de gráfico llamado diagrama de espacio-tiempo mostrará la posición de un objeto como una función de tiempo. El tiempo como eje y es una convención común para los diagramas de espacio-tiempo, donde la parte inferior del eje y es el pasado y la parte superior del eje y es el futuro. Los puntos en los diagramas de espacio-tiempo describen tanto la posición, que es el eje x, como el tiempo, que es el eje y. Cualquier punto en un diagrama de espacio-tiempo se llama evento, el cual tiene una posición y una coordenada de tiempo. Las líneas que representan la posición en función del tiempo son líneas universales, y la pendiente de una línea universal muestra la velocidad en el marco de referencia del diagrama de espacio-tiempo. El conjunto de todas las líneas de mundo que pasan por un evento definirá los conos de luz del evento. Hay conos de luz pasados ​​y futuros para un evento.

Características del diagrama de espacio-tiempo de Minkowski

Un método para visualizar el espacio-tiempo es un diagrama de espacio-tiempo de Minkowski. Estos diagramas de Minkowski son un subconjunto de los diagramas generales de espacio-tiempo. Uno o más sistemas de coordenadas apiladas con una posición y una coordenada de tiempo forman un diagrama de espacio de Minkowski. En estos diagramas de Minkowski, se comparan diferentes eventos en tiempo y espacio desde el punto de vista de diferentes observadores. Hay dos tipos comunes de diagramas de Minkowski: diagramas de Lineland Minkowski y diagramas de Flatland Minkowski.

Los diagramas de espacio-tiempo de Minkowski tienen las siguientes características:

• Los rayos de luz se dibujan en un ángulo de 45 grados con respecto a la línea o plano espacial. Esta es una característica definitoria de los diagramas de espacio-tiempo de Minkowski.
• En un diagrama de espacio-tiempo de movimiento unidimensional, habrá un eje de tiempo (ct) y un eje espacial. El eje del tiempo está etiquetado como ct porque el tiempo debe escalarse con la velocidad de la luz (c). Esta escala es necesaria para que el eje de tiempo esté en una dimensión de longitud.
• Todos los ejes deben tener las mismas unidades. Si un eje está en años luz, entonces todos los demás ejes deben estar en años luz.
• Cuando se necesita un movimiento bidimensional, un diagrama de Minkowski tendrá dos ejes espaciales, que tienen movimiento en un plano.
• Si el eje del tiempo está en segundos, entonces la medida de los ejes espaciales está en segundos luz.
• Un diagrama de Lineland Minkowski tendrá un eje para el espacio y un eje para el tiempo. Los rayos de luz viajarán en ángulos de 45 y 135 grados con respecto al eje espacial. Los rayos de luz forman un cono de luz bidimensional. Un cono de luz es una superficie en el espacio-tiempo que comprende todos los puntos desde los cuales una señal de luz llegaría a un punto dado con respecto al vértice simultáneamente. Un observador ubicado en el vértice podrá ver señales luminosas simultáneas.
• El diagrama de Flatland Minkowski tendrá dos ejes espaciales, que forman un plano, y un eje para el tiempo. Habrá conos de luz tridimensionales.

La métrica de Minkowski es un tensor métrico, simplemente una función que se puede usar para calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera en un espacio como el espacio-tiempo. La forma de la métrica de Minkowski es la siguiente función:

{eq}dtau^2=-(dx^0)^2+(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2 {/eq}

La razón por la que se dice que los diagramas de espacio-tiempo de Minkowski son planos es el tratamiento especial de la dimensión temporal. Este tratamiento especial permite que el espacio de Minkowski tenga una métrica euclidiana con una coordenada de tiempo imaginaria usando la siguiente fórmula.

{eq}X^0 = ict {/eq}, donde:

• c es la velocidad de la luz, normalmente fijada como uno por convención.
• es tiempo
• El número imaginario (i) es igual a la raíz cuadrada de menos uno.

Ejemplos de diagramas de espacio-tiempo de Minkowski

Un ejemplo de un diagrama de espacio-tiempo de Minkowski es el fenómeno de dilatación del tiempo, en el que dos relojes parecen funcionar a diferentes velocidades dependiendo de si el reloj está en reposo o en movimiento. El reloj en movimiento parecerá correr más lento o dar la hora del reloj en reposo en el pasado.

El diagrama espacial de Minkowski para la dilatación del tiempo muestra las siguientes características:

• Hay dos sistemas, A y B, donde A es el sistema en reposo y B es el sistema en movimiento. Este diagrama de Minkowski es el punto de vista del sistema A.
• Este diagrama de Minkowski tiene dos eventos, indicados como E y E’.
• Hay una línea de simultaneidad, que es paralela al eje x.
• El evento E ocurre en ctA = un segundo, y el evento E’ ocurre en ctB en menos de un segundo. El observador del evento E, que es el sistema A, observará que el evento aún no ha ocurrido. Esto muestra que el tiempo en el sistema B pasa más lentamente para el sistema A.
• Este diagrama de espacio-tiempo de Minkowski concuerda con el fenómeno de la dilatación del tiempo al demostrar la diferencia en las velocidades de los dos relojes.

Uno puede usar los diagramas de Minkowski para visualizar otro fenómeno: la contracción de la longitud. En este fenómeno, la longitud medida de un objeto será más corta si el objeto está en movimiento en relación con un observador en reposo. La contracción del tamaño solo ocurre para la longitud del objeto, mientras que la altura permanecerá igual.

El diagrama de espacio-tiempo de Minkowski para la contracción de longitud tiene las siguientes características:

• Hay dos sistemas, A y B, donde el punto de vista es para el sistema A. El sistema A es el sistema en reposo, mientras que el sistema B es el sistema en movimiento.
• Los dos eventos son medidas de la longitud de una barra. Durante el mismo tiempo, se mide la varilla.
• El evento E’ se puede encontrar dibujando una línea paralela al eje del tiempo, que se llama línea de equilocalidad.
• La varilla en el evento E tiene una longitud de un metro. En el evento E’, la barra parecerá tener una longitud más corta para el observador en el sistema A.

Resumen de la lección

Un espacio que contiene geometría sólida y tiempo para consistir en un espacio de cuatro dimensiones es el espacio de Minkowski . Este espacio de Minkowski es un tratamiento matemático que se ocupa de problemas complejos que requieren cuatro dimensiones. El espacio-tiempo es la combinación de geometría sólida con una cuarta dimensión, que es el tiempo. El espacio de Minkowski y el espacio euclidiano son diferentes porque el espacio euclidiano es solo geometría sólida o ser físico. Hermann Minkowski desarrolló el espacio de Minkowski para tratar problemas complejos de física matemática, como la teoría del electromagnetismo de Maxwell y la teoría de la relatividad especial de Albert Einstein.

Los diagramas de espacio-tiempo de Minkowski son un subconjunto de los diagramas de espacio-tiempo generales . Estos diagramas permiten métodos de visualización para las matemáticas espaciales de Minkowski. Los rayos de luz, dibujados en ángulos de 45 grados, son una característica principal de los diagramas de Minkowski. Estos rayos de luz se combinan para formar conos de luz. Los diagramas de Minkowski pueden visualizar fenómenos como la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud. El tratamiento especial de la dimensión temporal hace que los diagramas de espacio-tiempo de Minkowski sean planos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador