Principio de Arquímedes: historia, fórmula y ejemplos

¿Qué es el principio de Arquímedes?

El principio de Arquímedes describe lo que le sucede a un objeto cuando se sumerge en un fluido. Para comprender mejor la definición del principio de Arquímedes es necesario estar familiarizado con el concepto de flotabilidad, también conocido como empuje o, simplemente, fuerza ascendente, siendo este último el que hace referencia a la dirección del vector fuerza. ¿Qué dice el principio de Arquímedes sobre esta fuerza? Dice que esta fuerza aparece siempre que un objeto se sumerge en un fluido y actúa en oposición al peso sobre el objeto.

Es importante recordar la diferencia entre masa y peso. Mientras que la primera es una propiedad del objeto que cuantifica su inercia, el segundo se refiere a la fuerza de atracción creada por el campo gravitatorio del planeta. La masa es una cantidad escalar y el peso es un vector con dirección descendente (más precisamente, apunta al centro del planeta).

Cuando un objeto está bajo el agua (o bajo otro fluido), experimenta una fuerza (flotabilidad) hacia arriba que es igual al peso del fluido desplazado por el objeto.

Términos importantes

Hay tres términos importantes que uno debe comprender para continuar con esta lección: volumen, desplazamiento y densidad.

• El volumen (V) es la cantidad de espacio tridimensional que ocupa un objeto o sustancia. El volumen de un fluido se puede encontrar fácilmente utilizando un recipiente graduado. Las marcas del recipiente mostrarán el valor del volumen del fluido. Un objeto, dependiendo de su forma, puede tener su volumen calculado mediante una fórmula. Por ejemplo, la fórmula para el volumen de un cubo es {eq}lado*lado*lado {/eq} (la longitud del lado elevado al cubo). Sin embargo, un recipiente graduado que contenga un fluido también puede servir como calculadora de volumen para un objeto. La Figura 2 demuestra cómo.

• El desplazamiento se describe a menudo como un cambio de posición. En el contexto de esta lección, lo que importa es el desplazamiento del fluido cuando un objeto se sumerge. La figura 2, por ejemplo, muestra un desplazamiento de 100 ml de fluido, el mismo valor que el volumen del objeto. El volumen desplazado por un fluido y el volumen del objeto solo son iguales cuando el objeto está completamente sumergido en el fluido.
• La densidad ({eq}\rho {/eq}) mide la masa concentrada por volumen de una sustancia. Se calcula dividiendo la masa de una sustancia por su volumen.

El principio de Arquímedes hace uso de estos tres conceptos. Como la fuerza de flotación es igual al peso del volumen de fluido desplazado, este peso se calcula a través de la masa de este volumen desplazado. Esta masa, a su vez, se calcula a través de la densidad.

Historia del Principio de Arquímedes

La historia que se ha contado a lo largo de los años cuenta que un joven científico llamado Arquímedes, dispuesto a ayudar a su primo, el rey Hierón, descubrió un importante principio de la física. Hierón llevó una pieza de oro a un orfebre local y le ordenó que construyera una corona con ella. El orfebre hizo lo que le dijo y envió el oro, ahora con forma de corona, de vuelta al rey. En los días siguientes, Hierón comenzó a escuchar historias sobre cómo el orfebre lo engañó reemplazando parte de la masa del oro que le dieron por una masa equivalente de plata. Seguramente el rey estaba dispuesto a castigar al orfebre por sus acciones, pero primero necesitaba comprobar si los rumores eran ciertos. Hierón, entonces, le pidió a su primo Arquímedes que lo ayudara con esta tarea. La suerte y la inteligencia se unieron para ayudar al científico cuando fue a bañarse y notó que, al introducir su cuerpo en la bañera, se desplazaba en la misma una cantidad de agua equivalente al volumen de la parte sumergida de su cuerpo. Emocionado por su descubrimiento, salió corriendo desnudo por la ciudad gritando “¡Eureka!”. (¡Lo he encontrado! en griego).

En efecto, encontró una manera de ayudar al rey. Todo lo que tenía que hacer era sumergir en el agua exactamente la misma masa de oro que le había dado Hierón al orfebre. Si el líquido desplazaba la misma cantidad de agua que la corona, la pieza era oro puro. Sin embargo, si el orfebre hubiera sustituido cierta masa de oro por la misma masa de plata, la corona desplazaría más agua. Según Arquímedes, el significado de tal resultado es simple: el oro es más denso que la plata, por lo tanto, la misma masa de ambas sustancias requiere un mayor volumen de plata.

La inteligencia de Arquímedes fue la mala suerte del orfebre. La corona desplazó más agua de la que debía, lo que confirmó los rumores que corrían por el pueblo. El orfebre era un tramposo. Sustituyó una parte del oro que le dieron por plata (u otro metal de menor densidad que el oro).

Ejemplo: Cubo de hielo

Arquímedes se llevaría una sorpresa (o no) si hubiera sumergido hielo en un vaso de agua: flota. La idea general es que una sustancia con una densidad menor flotará cuando se encuentre en el mismo recipiente con un fluido más denso. Si introducimos la flotabilidad en el contexto, un objeto flotaría en un líquido si la fuerza ascendente aplicada por el fluido sobre el objeto es al menos tan grande como el peso del objeto.

Es importante recordar que la densidad está relacionada con el peso por el valor de la masa. En el caso del hielo sumergido en agua, el primero flotará por tener una densidad menor que el segundo. Puede sonar contradictorio, pero tiene que ver con una característica especial del agua. Al congelarse, el hielo resultante será menos denso que el agua, cuyo volumen aumenta al solidificarse.

Resumen de la lección

En esta lección se describe el Principio de Arquímedes y la flotabilidad como la fuerza relacionada con él. Cuando un objeto se sumerge en un fluido, el primero se ve afectado por una fuerza hacia arriba aplicada por el fluido. Esta fuerza tiene una dirección opuesta al peso, que es una fuerza con una dirección hacia abajo. Cuando la densidad de un objeto sólido es mayor que la densidad del fluido, el objeto se hunde. Por otro lado, el hielo, por ejemplo, flota en agua líquida por tener una densidad menor que el fluido. Esta diferencia de densidad impacta en la diferencia entre el peso del objeto y la flotabilidad ya que esta última es el peso del fluido desplazado por el objeto.

La variable que relaciona el peso (W), la flotabilidad (Fb) y la densidad ({eq}\rho {/eq}) es la masa (m). Esto se puede observar mediante las fórmulas que definen estas cantidades:

• {eq}W = m_{objeto} * g {/eq}
• {eq}Fb = m_{fluido desplazado en el espacio} * g {/eq}
• {eq}\rho = \frac {m}{V} {/eq}.

Aquí V es el volumen del objeto sumergido o volumen desplazado. Toda esta información surgió del descubrimiento inicial que hizo Arquímedes, un joven científico que sumergió una corona en agua para ayudar a su primo, el rey Hierón, a demostrar que había sido engañado por un orfebre. Arquímedes se dio cuenta de que la corona desplazaba más agua que si hubiera sido de oro puro. Concluyó, entonces, que el orfebre había reemplazado parte de la masa de oro entregada por el rey por plata. Esto provocó un aumento del volumen de la corona, ya que la plata es menos densa que el oro.