Fórmula de incertidumbre y ejemplos: Cómo calcular la incertidumbre en física
Incertidumbre y error en la medición
La incertidumbre en física se refiere al hecho de que es imposible medir cualquier cantidad física con precisión perfecta. Esto se debe a que todos los instrumentos de medición tienen limitaciones y están sujetos a diversas fuentes de error. Por ejemplo, es posible que una regla no sea perfectamente recta o que un reloj no sea perfectamente preciso. Como resultado, cada medición tiene un grado de incertidumbre asociado. La importancia de la incertidumbre radica en que es un aspecto fundamental del método científico. Para hacer predicciones precisas sobre el comportamiento de los sistemas físicos, es esencial tener en cuenta la incertidumbre de nuestras medidas: esto nos permite determinar el rango de valores posibles para una cantidad, en lugar de un valor único y preciso.
Para escribir la incertidumbre en una medida, la práctica estándar es expresar el valor medido como una cantidad con incertidumbre asociada. Por ejemplo, si la longitud de un objeto se mide en 10,0 cm, con una incertidumbre de 0,2 cm, se escribiría como 10,0 +/- 0,2 cm. Esto indica que es probable que el verdadero valor de la longitud del objeto se encuentre en algún lugar dentro del rango de 9,8 cm a 10,2 cm.
Incertidumbre relativa vs. absoluta
La incertidumbre relativa es una medida de la incertidumbre de una medida en relación con el valor medido en sí. Por lo general, se expresa como un porcentaje del valor medido y es útil para comparar la incertidumbre de las mediciones que tienen diferentes unidades o escalas.
La incertidumbre absoluta es una medida de la incertidumbre de una medición sin ninguna referencia al valor medido en sí. Por lo general, se expresa como una cantidad con las mismas unidades que la medida y es útil para determinar el rango de valores posibles para una medida.
Ejemplos de incertidumbre relativa incluyen:
- Medir el peso de un objeto con una escala que solo tiene una precisión de +/- 0.1% del valor medido.
- Medir la temperatura de una sustancia con un termómetro que solo tiene una precisión de +/- 0,5 grados centígrados.
Ejemplos de incertidumbre absoluta incluyen:
- Medir la longitud de un objeto con una regla que tiene marcas cada 1,0 cm, pero que no está perfectamente recta, lo que da como resultado una incertidumbre de +/- 0,5 mm.
- Medir la velocidad de un objeto en movimiento con un cronómetro que no es perfectamente preciso, lo que genera una incertidumbre de +/- 0,1 segundos.
Desviación estándar y desviación absoluta media
La fórmula de la incertidumbre relativa es:
incertidumbre relativa = \frac{\text{incertidumbre absoluta}}{ \text{valor medido}} \times 100 $$
Por ejemplo, si la incertidumbre absoluta de una medición es de 0,2 cm y el valor medido es de 10,0 cm, la incertidumbre relativa se calcularía de la siguiente manera:
$$\text{incertidumbre relativa} = \frac{0.2 \text{cm}}{10.0 \text{cm}} \times 100 =2 $$
Entonces la incertidumbre relativa es del 2%.
La fórmula para la desviación absoluta media es:
$$\text{desviación absoluta media} = \frac{1}{n} \sum |x – x_{media}| $$
donde n es el número de mediciones, x es una medición individual y {eq}x_mean {/eq} es la media de todas las mediciones.
Por ejemplo, supongamos que tenemos las siguientes cinco medidas: 10,0 cm, 10,1 cm, 9,9 cm, 10,2 cm y 10,0 cm. La desviación absoluta media se calcularía de la siguiente manera:
$$x_{media} = \frac{10,0 \text{ cm} + 10,1 \text{ cm} + 9,9 \text{ cm} + 10,2 \text{ cm} + 10,0 \text{ cm}}{5} = 10,0 \text{ cm} \\ \text{desviación absoluta media} = \frac{1}{5} \left[ \left|10.0 \text{ cm} – 10.0 \text{ cm}\right| + \left|10.1 \text{ cm} – 10.0 \text{ cm}\right| + \left|9.9 \text{cm} – 10.0 \text{cm}\right| + \left|10,2 \text{cm} – 10,0 \text{cm}\right| + \left|10.0 \text{cm} – 10.0 \text{cm}\right| \right] \\ = \frac{1}{5} \left( 0 \text{ cm} + 0,1 \text{ cm} + 0,1 \text{ cm} + 0,2 \text{ cm} + 0 \text{ cm } \right) \\ = \frac{1}{5} \cdot 0.4 \text{ cm} $$
La fórmula para la desviación estándar es:
$$\text{desviación estándar} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum (x – x_{media})^2} $$
Para el mismo ejemplo anterior, la desviación estándar se calcularía de la siguiente manera:
$$x_{media} = \frac{10,0 \text{ cm} + 10,1 \text{ cm} + 9,9 \text{ cm} + 10,2 \text{ cm} + 10,0 \text{ cm}}{5} = 10,0 \text{ cm} \\ \text{desviación estándar} = \sqrt{\frac{1}{5} \left[ (10,0 \text{ cm} – 10,0 \text{ cm})^2 + (10,1 \text { cm} – 10,0 \text{ cm})^2 + (9,9 \text{ cm} – 10,0 \text{ cm})^2 + (10,2 \text{ cm} – 10,0 \text{ cm})^2 + (10,0 \text{ cm} – 10,0 \text{ cm})^2 \right]}\\ = \sqrt{\frac{1}{5} \left( 0^2 + 0,1^2 + 0,1^2 + 0,2^2 + 0^2 \right)} \\ = \sqrt{\frac{1}{5} \cdot (0 + 0,01 + 0,01 + 0,04 + 0)} \\ = \sqrt{\frac{1} {5} \cdot 0.06} \\ = \sqrt{0.012}\\ = 0.1 \text{ cm} $$
Cada uno de estos términos proporciona una medida diferente de la incertidumbre de un conjunto de medidas. La incertidumbre relativa es útil para comparar la incertidumbre de las medidas con diferentes unidades o escalas, mientras que la desviación absoluta media y la desviación estándar proporcionan una medida de la dispersión de las medidas alrededor de la media.
Cálculo de la incertidumbre relativa
Para calcular la incertidumbre relativa de una medida, primero necesitamos determinar la incertidumbre absoluta de la medida. La incertidumbre absoluta es una medida de la precisión del instrumento de medición y la habilidad de la persona que realiza la medición. Por lo general, se expresa como una cantidad con las mismas unidades que la medida.
Por ejemplo, supongamos que estamos usando una regla para medir la longitud de un objeto y la regla tiene marcas cada 1,0 cm pero no es perfectamente recta. Esto significa que existe una incertidumbre de +/- 0,5 mm en cada medida. Si medimos la longitud del objeto en 10,0 cm, la incertidumbre absoluta de la medida sería de 0,5 mm.
A continuación, necesitamos determinar el valor medido de la cantidad que se mide. En este caso, ya hemos medido que la longitud del objeto es de 10,0 cm.
Con estos dos valores, ahora podemos calcular la incertidumbre relativa:
{eq}\text{incertidumbre relativa} = \frac{\text{incertidumbre absoluta}}{\text{valor medido}} \cdot 100% {/eq}r
Esto significa que la incertidumbre relativa de nuestra medida es 0,005% o 0,00005 en forma decimal. Esto indica que es probable que el valor real de la longitud del objeto esté dentro de +/- 0,00005 del valor medido de 10,0 cm.
Cálculo de la desviación absoluta estándar y media
Para calcular la desviación estándar y la desviación absoluta media de un conjunto de medidas, primero debemos determinar la media de las medidas. Esto se hace sumando todas las medidas y dividiéndolas por el número total de medidas.
Por ejemplo, supongamos que tenemos las siguientes cinco medidas: 10,0 cm, 10,1 cm, 9,9 cm, 10,2 cm y 10,0 cm. La media de estas medidas se calcularía de la siguiente manera:
Una vez que hemos determinado la media, podemos calcular la desviación estándar y la desviación absoluta media utilizando las fórmulas definidas anteriormente.
Sustituyendo los valores de nuestro ejemplo, obtenemos:
$$\text{media} = \frac{10,0 \text{ cm} + 10,1 \text{ cm} + 9,9 \text{ cm} + 10,2 \text{ cm} + 10,0 \text{ cm}}{5} = 10.0 \text{cm} $$
La desviación estándar y la desviación absoluta media proporcionan una medida de la dispersión de las medidas alrededor de la media. En este ejemplo, la desviación estándar es de 0,1 cm, lo que indica que las medidas son bastante uniformes, mientras que la desviación absoluta media es de 0,08 cm, lo que indica que las medidas están bastante cerca de la media de 10,0 cm.
$$\text{desviación estándar} = \sqrt{\frac{1}{5} \left[ (10,0 \text{ cm} – 10,0 \text{ cm})^2 + (10,1 \text{ cm} – 10,0 \text{ cm})^2 + (9,9 \text{ cm} – 10,0 \text{ cm})^2 + (10,2 \text{ cm} – 10,0 \text{ cm})^2 + (10,0 \text{ cm} – 10.0 \text{ cm})^2 \right]}\\ = \sqrt{\frac{1}{5} \left( 0^2 + 0.1^2 + 0.1^2 + 0.2^2 + 0 ^2 \right)}\\ = \sqrt{\frac{1}{5} \cdot (0 + 0.01 + 0.01 + 0.04 + 0)}\\ = \sqrt{\frac{1}{5} \cdot 0.06} \\ = \sqrt{0.012}\\ = 0.1 \text{ cm} $$
Incertidumbre de los instrumentos
La incertidumbre en las mediciones puede provenir de una variedad de fuentes, incluidas las limitaciones del instrumento de medición y la habilidad de la persona que realiza la medición. En general, existen dos tipos principales de instrumentos de medición: digitales y analógicos.
Los instrumentos digitales son aquellos que utilizan tecnología digital para mostrar el valor medido, como calibradores digitales o balanzas digitales. Estos instrumentos suelen tener precisión incorporada, que es el incremento más pequeño que el instrumento puede medir. Por ejemplo, un calibrador digital puede tener una precisión de 0,01 mm, lo que significa que puede medir longitudes con una precisión de +/- 0,01 mm. La precisión de un instrumento digital es una medida de su incertidumbre.
Los instrumentos analógicos son aquellos que utilizan una escala física o un puntero para mostrar el valor medido, como una regla o un termómetro. Estos instrumentos suelen tener marcas que indican la precisión del instrumento, como 1,0 cm o 0,1 grados. La precisión de un instrumento analógico es también una medida de su incertidumbre.
En general, los instrumentos digitales son más precisos y tienen una menor incertidumbre que los instrumentos analógicos. Esto se debe a que los instrumentos digitales utilizan sensores electrónicos y pantallas digitales para proporcionar una medición más exacta y precisa. Sin embargo, ambos tipos de instrumentos pueden estar sujetos a varias fuentes de error, como variaciones de temperatura, presión del aire y otros factores.
Para identificar la incertidumbre de un instrumento de medida, es importante consultar la documentación o instrucciones del instrumento. Esto normalmente proporcionará información sobre la precisión y exactitud del instrumento, así como cualquier posible fuente de error. También es importante utilizar el instrumento de acuerdo con sus especificaciones y tomar las precauciones adecuadas para minimizar las fuentes de error.
Resumen de la lección
La incertidumbre en física se refiere a la imprecisión inherente de las mediciones, que puede surgir de una variedad de fuentes, como las limitaciones de los instrumentos de medición y la habilidad de la persona que realiza la medición. Es importante considerar la incertidumbre al interpretar los resultados de una medición, ya que proporciona información sobre la confiabilidad y precisión de la medición. Hay dos tipos principales de incertidumbre: la incertidumbre relativa y la incertidumbre absoluta. La incertidumbre relativa es una medida de la precisión de una medición en relación con su valor y normalmente se expresa como un porcentaje. La incertidumbre absoluta es una medida de la precisión de la medición en unidades absolutas, como metros o segundos.
Para calcular la incertidumbre relativa de una medida, la fórmula es:
$$\text{incertidumbre relativa} = \frac{\text{incertidumbre absoluta}}{\text{valor medido}} \cdot 100% $$
Para calcular la desviación absoluta media y la desviación estándar de un conjunto de medidas, las fórmulas son:
$$\text{desviación absoluta media} = \frac{1}{n} \sum |x – x_{media}| $$
$$\text{desviación estándar} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum (x – x_{media})^2} $$
donde n es el número de mediciones, x es una medición individual y {eq}x_{mean} {/eq} es la media de todas las mediciones.
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