Teorema de Rolle: un caso especial del teorema del valor medio

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Velocidad vertical

Gráfico de la velocidad vertical para Super C

Regresemos y veamos Super C, la bala de cañón humana. Grafiquemos nuevamente su altura en función del tiempo. ¿Podemos usar el teorema del valor medio para decir algo sobre la trayectoria de vuelo de Super C? Recuerde que el teorema del valor medio dice que en una región donde nuestra bala de cañón tiene alguna tasa de cambio, hay un punto en su camino donde la tasa instantánea de cambio, su velocidad en ese segundo, será igual a su velocidad promedio. Entonces, si miro su altura en función del tiempo, miro su velocidad vertical. Su velocidad vertical promedio, su tasa promedio de cambio, es en realidad cero. Su velocidad vertical es cero porque su punto final menos su punto inicial será cero; está aterrizando en el suelo y su altura no es más alta que cuando comenzó.

Lo que esto significa de acuerdo con el teorema del valor medio es que su tasa de cambio instantáneo, verticalmente, también debe ser cero en algún momento de su trayectoria. Si miras su altura en función del tiempo, esto tiene sentido. Aquí arriba, en el vértice, no tiene velocidad vertical. Su tasa de cambio instantánea es igual a su tasa de cambio promedio, y ambas son iguales a cero.

Comprender el teorema de Rolle

Esto conduce al teorema de Rolle , que en realidad es solo un caso especializado del teorema del valor promedio. El teorema de Rolle dice que si la tasa de cambio promedio es cero, específicamente porque los puntos inicial y final están en cero, entonces la tasa de cambio instantánea es igual a cero en algún lugar a lo largo de ese camino.

Teorema de Rolle como gráfico

Hay una tasa de cambio instantánea igual a cero en algún lugar entre ay b

Veamos lo que esto significa más matemáticamente. Digamos que tiene la función y = f (x) . Aquí, x está en el eje horizontal e y está en el eje vertical. Usted tiene alguna región, una de aab , donde ambos f en una y f en B es igual a cero. Entonces sus puntos finales están en cero.

El teorema de Rolle dice que en algún lugar entre un y b , que vamos a tener una tasa de cambio instantánea igual a cero. Esto significa que en algún lugar entre un y b , la tangente a la curva va a ser cero. Con solo mirar este gráfico, puede ver que la tangente a la curva tiene pendiente cero en cuatro puntos.

Para este gráfico en particular, puede mirar la región a a b , pero también puede mirar la región a a c . una y c son ambos a y = 0, porque f en una es igual a cero y f en c es igual a cero. Y algún punto entre una y C , la pendiente de la tangente es igual a cero por el teorema de Rolle. Usted podría mirar a la región entre una y D y decir la misma cosa. La región entre una y correoy vuelva a decir lo mismo. Entre cualquiera de estos puntos donde y = 0 tanto al inicio como al final; hay una tangente igual a cero en algún lugar entre esos dos puntos.

Teorema de Rolle como ecuación

La tangente a la curva tiene pendiente cero en cuatro puntos

Entonces, si tienes una función f (x) = (2 – x ) ( x – 1) (4 – x ) (6 – x ), sabes que f (x) será igual a cero en 1, 2, 4 y 6. Como f (x) = 0 en esos cuatro puntos, sabes que entre esos cuatro puntos, tenemos un lugar donde la tangente a esta recta es igual a cero. Específicamente, en algún lugar entre x = 1 y x = 2, la tangente a esta curva será igual a cero. En algún lugar entre x = 2 y x = 4, habrá una tangente a la curva que es igual a cero. En algún lugar entre x = 4 y x= 6, habrá una tangente a la curva que es igual a cero.

Resumen de la lección

Así que recapitulemos. El teorema de Rolle dice que para alguna función, f (x) , sobre la región a a b , donde f (a) = f (b) = 0, hay algún lugar entre una y b donde la tasa instantánea de cambio (la tangente a esa curva) será igual a cero. Tendrá una pendiente de cero. Esto es cierto siempre que siempre pueda encontrar la tasa de cambio instantánea en esa región.

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