Derivación de la fórmula para la superficie total de la esfera por integración

El área de superficie de una esfera

La idea de un área de superficie es fácil de entender cuando el objeto es plano como un cuadrado o un triángulo. Incluso un objeto tridimensional formado por superficies planas tiene una ecuación fácil de entender para el área de la superficie. Pero, ¿qué pasa con una superficie curva? ¿Qué pasa con una esfera?

Una esfera es un tipo especial de objeto tridimensional. Si conocemos el radio, R , podemos encontrar otras características de la esfera como su volumen y área de superficie.

Por ejemplo, la superficie total, A , es 4π veces el cuadrado de R . En esta lección, mostramos cómo derivar esta ecuación.

Radio, ángulo y longitud de arco

El radio, R , va desde el centro de la esfera hasta su superficie exterior. También podríamos dibujar otro radio, r . Este radio también toca la superficie, pero comienza perpendicular a una línea vertical que pasa por el centro de la esfera:

Un ángulo, θ, proporciona una relación entre R y r :

Podemos desplazar r :

Utilice la definición de coseno (lado adyacente sobre la hipotenusa):

Resolviendo para r :

¡Excelente! Vamos a utilizar esta r – R relación más adelante. Ahora, profundicemos en la idea de arclength.

Sabemos que una vez alrededor de un círculo hay 360 o, que es lo mismo que 2π radianes. También sabemos, el perímetro de un círculo como 2π R .

Si θ es un ángulo arbitrario menor que 2π, entonces θ / 2π es una fracción. La longitud a lo largo del arco (más conocida como la longitud de arco ), s , subtendido por θ es una fracción de la longitud total de 2π R . Esta fracción está dada por s / 2π R . Estas fracciones son iguales:

Los factores 2π se cancelan de cada lado de la ecuación, dejando:

Resolviendo para s :

Podemos tomar la derivada de ambos lados:

En la segunda línea, usamos la regla del producto que da dos términos. Pero d R es 0 porque R es una constante. Es decir, θ d R es 0. Por lo tanto, nos quedamos con un solo término en la tercera línea, lo que nos da otro resultado muy útil:

Usando la integración

Con estos resultados, integraremos para derivar la ecuación del área de superficie total. Pero primero, volvamos a visitar el círculo trazado por r .

Si dibujamos otro círculo inmediatamente debajo de él con el mismo radio, obtenemos el círculo que aparece aquí:

La separación entre los dos círculos es una longitud de arco infinitamente pequeña, d s :

Podemos abrir esta banda para obtener un rectángulo:

El área del rectángulo, d a , es un área diferencial igual al largo por el ancho. Este rectángulo tiene una longitud, 2π r , y una anchura, d s . Por tanto, el área, d a , de este cilindro infinitamente delgado es:

Para encontrar el área de superficie total de la esfera, sumamos (integrando) todas estas áreas diferenciales:

Simplemente determinamos que el área diferencial, d a , es 2π r por d s :

Sustituya R cos θ por r y R dθ por d s :

Observamos que R tiempos R es R al cuadrado:

El factor 2π R 2 es una constante que sale de la integral:

Todo lo que nos queda es resolver la integral del coseno. Los límites de integración cubren el rango de valores para θ que corresponden a la superficie total de la esfera. En el punto más bajo de la esfera, θ = -π / 2. En el punto más alto, θ = π / 2. Así,

El anti-derivado del coseno es el seno:

En la segunda línea, sustituimos el límite superior por el anti-derivado y luego restamos el anti-derivado evaluado en el límite inferior. Sin (π / 2) es 1, mientras que sin (-π / 2) es -1. La simplificación nos da el resultado de 2 que vemos en la cuarta línea.

La integral evaluada es 2. Por lo tanto,

Y terminamos de derivar la ecuación para el área de superficie total de una esfera:

Resumen de la lección

Dediquemos unos minutos a repasar lo que hemos aprendido en esta lección. Arclength , s , es la longitud a lo largo de un arco subtendido por un ángulo, θ. La longitud de arco es el radio, R , multiplicado por θ.

Esto conduce a la fórmula diferencial:

d s = R dθ

La relación r – R entre el radio, R , de la esfera y un radio, r , de un círculo (ubicado en un ángulo θ de una línea horizontal) es r = R cos θ.

Un área diferencial , d a , se define usando la idea de un cilindro delgado de altura d sy radio r . Esto lleva a:

d una = 2π r d s

La sustitución de r y d s da una ecuación en la que d a es una función de dθ. La integración de d a sobre todo θ da la fórmula para el área de superficie total de una esfera:

A = 4π R 2

Rodrigo Ricardo Editor y fundador