Cálculo del movimiento en campos magnéticos: fórmula y práctica

Ir en círculos

Imagínese subirse a una montaña rusa. El viaje comienza bastante lento y en línea recta. De repente, la pista cambia y entras en un bucle, ¡y no puedes salir de él! Vueltas y vueltas. Esto es lo que experimenta una partícula cargada cuando se aventura en un campo magnético. Centrémonos en la ecuación de este caso especial de movimiento circular.

Vueltas y vueltas en un bucle perpetuo

Fuerza centrípeta

La fuerza centrípeta es el término general para cualquier fuerza que actúa a lo largo de la línea del radio del movimiento circular. Con campos magnéticos y electrones, la única fuerza centrípeta es la fuerza magnética. La masa de un electrón es tan pequeña que ignoraremos cualquier efecto gravitacional sobre él. Para comprender cómo la fuerza centrípeta afecta al electrón, observe los diagramas, que muestran el mismo fenómeno desde diferentes ángulos.

La intersección de los tres ejes es el punto en el que el electrón golpea el campo, y la delgada línea rosada representa el camino que realmente toma el electrón.

En este diagrama, el electrón ya ha sido capturado y continúa en la trayectoria circular.

Utilice los diagramas como referencia cuando averigüe las ecuaciones siguientes. B es la dirección del campo magnético, v es la velocidad del electrón cuando golpea el campo, θ es el ángulo entre B y v, y F c es la dirección de la fuerza sobre el electrón.

Ecuaciones

La ecuación para la fuerza centrípeta, donde F c es la fuerza centrípeta, m es la masa, v es la velocidad y R es el radio, es

La ecuación para la fuerza magnética sobre una partícula cargada en movimiento, donde B es la fuerza del campo magnético yq es la carga, es

Observe que esta es una ecuación de productos cruzados. Esto significa que la fuerza es perpendicular a la velocidad de la partícula. Simplificando la ecuación para obtener la magnitud de la fuerza, obtenemos la siguiente ecuación, en la cual θ es el ángulo entre la dirección del campo magnético y la velocidad de la partícula:

Conectar la ecuación de la fuerza magnética en la ecuación de la fuerza centrípeta da como resultado

que podemos simplificar dividiendo ambos lados por v . Esto da como resultado la ecuación final para cualquier partícula cargada que se mueva en un campo magnético.

Hay una última cosa que debemos hacer. Dado que la ecuación de la fuerza magnética es el producto cruzado, necesitamos usar la regla de la mano derecha para indicar de qué manera actúa la fuerza sobre la partícula cargada. Esto ayudará a determinar la orientación de la trayectoria circular que toma la partícula cargada.

Para usar la regla de la mano derecha, haga una » L » hacia atrás con su dedo índice y pulgar derechos, y luego saque su dedo medio perpendicular a su dedo índice y pulgar.

Orientación de la regla de la mano derecha; F es la fuerza sobre una partícula cargada positivamente.

• El dedo índice apunta en la dirección de la velocidad de la partícula cargada (v).
• El dedo medio apunta en la dirección del campo magnético (B).
• El pulgar apunta en la dirección de la fuerza sobre la partícula cargada positivamente en movimiento . Para una carga negativa, simplemente invierta la dirección de la fuerza.

Cuando indicamos un campo magnético en una pantalla, podemos usar flechas para la mayoría de las direcciones, pero a veces necesitamos una notación especial. Para los campos magnéticos que apuntan hacia afuera de la pantalla usamos •. Para los campos magnéticos que apuntan a la pantalla usamos ⊗.

Ahora tenemos todas las herramientas que necesitamos para resolver algunos problemas que involucran electrones que se mueven en un campo magnético.

Ejemplo 1

Mensaje: Determine el radio de la trayectoria que toma un electrón a través del campo magnético que se muestra en el Diagrama 1.

Diagrama 1

Solución: antes de entrar en matemáticas, analicemos el diagrama. El campo magnético apunta hacia afuera de la pantalla. La velocidad del electrón se mueve hacia arriba, que es perpendicular (90 °) al campo magnético. Usando la regla de la mano derecha, vemos que el pulgar apunta hacia la derecha, que es para una carga positiva. Los electrones están cargados negativamente, por lo que la fuerza actúa hacia la izquierda.

La ecuación que derivamos anteriormente es

y el seno de 90 ° es 1, entonces podemos simplificar la ecuación, dándonos

Resolviendo para R obtenemos

La masa de un electrón es 9,11 x 10 -31 kg. Vamos a ignorar el signo negativo de la carga porque solo es necesario para determinar la dirección de la fuerza sobre la partícula cargada. Para obtener nuestra respuesta, todo lo que tenemos que hacer es conectar los valores, dándonos

Es mejor comprobar que esta combinación de unidades se reduce a metros. Un tesla es un newton por amperímetro. Sustituyendo esas unidades en nuestra ecuación final y simplificando, obtenemos

Ahora podemos sustituir kgm / s 2 por newton y C / s por amp, y simplificar, lo que da como resultado

Parece que estamos listos para seguir con la derivación de nuestra ecuación. Repasemos otro problema de ejemplo.

Ejemplo 2

Mensaje: Determine la velocidad de un electrón que se mueve hacia la pantalla en el campo magnético que apunta hacia la derecha. El radio del círculo es de 1 mm.

Ejemplo 2

Solución: la velocidad es perpendicular al campo magnético, por lo que no necesitamos sinθ. Resolviendo la ecuación para v y conectando la información, obtenemos

Ejemplo 3

Aviso: un electrón se mueve a 1000 m / s, a θ = 15 ° a un campo magnético que apunta a la pantalla. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético y cuál es la orientación de la trayectoria circular?

Solución: Dado que el electrón no se mueve perpendicularmente al campo magnético, tenemos que usar sinθ en la ecuación. Comenzando con la ecuación general y terminando con la magnitud del campo magnético, obtenemos

Para obtener la dirección del camino circular, usamos la regla de la mano derecha. Dado que la velocidad forma un ángulo con el campo, dibujamos el componente de la velocidad perpendicular al campo como lo muestra la flecha azul.

Componente-velocidad perpendicular

Apunte su dedo índice derecho hacia arriba y su dedo medio hacia la pantalla. El pulgar apunta hacia la izquierda, pero esa es la dirección de la fuerza sobre una carga positiva. Esto significa que la fuerza sobre el electrón está a la derecha en su ubicación en el diagrama. Por lo tanto, la trayectoria circular está en el plano de la pantalla y el electrón se mueve en un círculo en el sentido de las agujas del reloj.

Resumen de la lección

Las fuerzas centrípetas son fuerzas que actúan a lo largo de la línea del radio de un objeto que se mueve en una trayectoria circular.

La ecuación que involucra el movimiento circular de partículas cargadas en un campo magnético es

y la regla de la mano derecha determina la dirección de la fuerza sobre la partícula cargada. Esto ayuda a indicar la orientación de la ruta circular. Si la carga es negativa, la fuerza sobre ella es en la dirección opuesta a la orientación del pulgar derecho.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador