Variación directa: definición, fórmula y ejemplos

Definición

Hay tantas cantidades que pueden aumentar a un ritmo constante. Si configura el control de crucero de su automóvil y comienza a conducir, viajará una cantidad constante de millas por hora, cada hora. Si ahorra la misma cantidad de dinero todas las semanas, aumentará sus ahorros en una cantidad constante. Si graficamos estos escenarios, obtenemos una línea recta, por lo que se llaman ecuaciones lineales. Sin embargo, existen diferentes tipos de ecuaciones lineales. El que investigaremos en esta lección se llama variación directa .

En variación directa, dos cantidades, como tiempo y distancia, u horas y pago, aumentan o disminuyen a un ritmo constante. La tasa constante de aumento o disminución también se denomina constante de variación . En esta lección, veremos tres formas de presentar la variación directa, una ecuación, una tabla y un gráfico, a través de algunos ejemplos de la vida real.

Ejemplo de una ecuación

Como ejemplo, digamos que desea ahorrar algo de dinero para un próximo evento o festividad. No tienes dinero ahorrado para este evento al principio, pero vas a ahorrar $ 50 por semana durante 5 semanas.

En esta ecuación, 50 será su constante de variación, porque permanecerá igual durante el tiempo que esté ahorrando su dinero. Sabes que al final de esto, tendrás $ 50 x 5 o $ 250. Pero, ¿qué sucede si desea ahorrar durante un período de tiempo más largo o sabe que solo puede ahorrar $ 25 por semana? ¿Podríamos encontrar una forma más general de describir el problema?

Podemos con una ecuación:

cantidad ahorrada = (dólares) (semanas)

En álgebra, es más probable que usemos letras simples como variables, así que reescribamos la ecuación de esa manera. Si a = la cantidad ahorrada, d = la cantidad de dólares yw = semanas, su ecuación se vería así:

a = (d) (w)

Ahora, una vez que decida cuánto dinero puede ahorrar por semana, solo necesita sustituir valores en la ecuación. Por ejemplo, si puede ahorrar $ 50 por semana, ¿cuánto puede ahorrar en 12 semanas? Para resolver la ecuación de variación directa, sustituimos los valores:

a = (50) (12)

Resolviendo esta ecuación, verá que 50 x 12 = 600, entonces a = 600, lo que significa que ahorrará $ 600.

Ahora, en lugar de resolver para a , resolveremos para una variable diferente, w . Digamos que puede ahorrar $ 40 por semana. ¿Cuántas semanas se necesitan para ahorrar $ 520 dólares?

Nuevamente, podemos sustituir los valores que tenemos en la ecuación de variación directa. La cantidad que desea ahorrar es $ 520 y la cantidad que puede ahorrar por semana es $ 40, por lo que su ecuación se vería así:

520 = (40) (ancho)

Usando álgebra para resolver esto, dividiremos ambos lados por 40 para encontrar el valor de w :

w = 520/40

w = 13

Entonces, en 13 semanas, ahorrará $ 520

Ejemplo de una tabla

Otra forma de hacer un seguimiento de sus ahorros es mediante una tabla. En esta tabla, asumiremos que ahorra $ 50 por semana. Nuevamente, debido a que se trata de una variación directa, asumiremos que comienza sin ahorrar dinero.

Aquí hay dos puntos clave a tener en cuenta sobre esta tabla:

1. Cuando comienza a ahorrar en la semana 0, tiene $ 0. Por tanto, la primera entrada de la tabla es (0, 0). Esto será cierto en cada tabla de variación directa que vea.
2. Cada semana, la cantidad que ha ahorrado aumenta en $ 50. Otra forma de decir esto sería «a medida que el número de la semana aumenta en 1, la cantidad ahorrada aumenta en $ 50». Esto es lo que se entiende por «aumentar o disminuir a un ritmo constante». Los $ 50 también se denominan constante de variación , porque nos dice cuánto aumentará el ahorro cada semana.

Usando la información de la tabla anterior, y asumiendo una tasa constante de aumento de $ 50 por semana, ¿cuánto dinero se ahorrará para la semana 20? Bueno, si sigues agregando $ 50 a la semana anterior, para la semana 20 llegarás a $ 1,000.

Ejemplo de un gráfico

Finalmente, puede representar cómo crecen sus ahorros usando un gráfico. Para hacer la gráfica, podemos trazar algunos de los puntos de la tabla y conectarlos. Observe cómo la gráfica es una línea; esto se debe a que la variación directa es una ecuación lineal.

A continuación, se muestran dos aspectos clave a tener en cuenta sobre este gráfico:

1. La gráfica pasa por el punto (0, 0). Esto es cierto para todos los gráficos de variación directa: debe pasar por el origen.
2. En la gráfica, la escala del eje x es en unidades, pero la escala del eje y es en 100. Asegúrese de tener esto en cuenta si usa el gráfico para hacer predicciones.

Usando los tres métodos

Echemos un vistazo a otro ejemplo y usemos los tres métodos.

También podemos usar la variación directa para averiguar qué tan lejos llegará si viaja a cierta velocidad. Digamos que parte de su casa y viaja a una velocidad constante de 60 km por hora. Nuevamente, 60 sería su variación constante, por lo que si viaja durante tres horas a la velocidad constante de 60 km por hora, entonces viajará:

(60) (3) = 180 km

Podemos escribir una ecuación que generalice esto:

distancia = (velocidad) (tiempo)

A menudo, en matemáticas, la velocidad se conoce como ‘tasa’, por lo que nuestra ecuación con variables sería:

d = (r) (t)

Como hicimos anteriormente, también podemos describir la distancia recorrida con una mesa. Como en el ejemplo anterior, la tabla contendrá la entrada (0, 0)

De manera similar, podemos esbozar un gráfico trazando los puntos de la tabla. Las horas irán en el eje x y la distancia en el eje y. Observe que esta gráfica pasa por el origen (0, 0) y es una línea.

Como nota final, la mayoría de los libros de texto de matemáticas mostrarán la ecuación de variación directa como y = (k) (x) . Este tipo de notación de ecuación se puede utilizar para cualquier ecuación de variación directa donde x es el valor de entrada, como el número de horas o el número de semanas. La variable k es la constante de variación, como la cantidad de dinero que se ahorra semanalmente o la velocidad en kilómetros por hora. La variable y es la variable de salida, que en nuestros ejemplos fue la cantidad total ahorrada y la distancia total recorrida. Observe cómo esta ecuación tiene dos cantidades que se multiplican para dar una tercera cantidad y que no se suma ni se resta nada.

Resumen de la lección

• La variación directa es un tipo especial de ecuación lineal. En variación directa, dos cantidades, como tiempo y distancia, u horas y pago, aumentan o disminuyen a un ritmo constante. La tasa constante también se llama constante de variación.
• Podemos ver la variación directa usando una tabla, un gráfico o una ecuación.
• Un gráfico de variación directa siempre será una línea y siempre pasará por el punto (0, 0).
• Una ecuación de variación directa se verá similar a y = (k) (x) , donde x es el valor de entrada, k es la tasa constante e y es el valor de salida.
• Las aplicaciones de la variación directa incluyen la relación entre la distancia recorrida y el tiempo, d = (r) (t) , y el dinero ahorrado en el tiempo, a = (d) (w) .

Términos clave

Variación directa : cuando dos cantidades, como el tiempo y la distancia, o las horas y el pago, aumentan o disminuyen a un ritmo constante

Constante de variación : una tasa constante de aumento o disminución

Los resultados del aprendizaje

Cuando termine la lección, asegúrese de su capacidad para:

• Compile casos hipotéticos de variación directa
• Identificar la constante de variación en una ecuación de variación directa.
• Calcule el total para una instancia de variación directa dada la constante de variación y la cantidad de tiempo

Rodrigo Ricardo Editor y fundador