Aritmética modular: reglas y propiedades

Aritmética modular

Antes de llegar a las reglas y propiedades de la aritmética modular, revisemos primero el significado del término. La aritmética modular , o aritmética de reloj, es algo que usamos a diario. En un reloj regular, como el que se muestra aquí, los civiles indican la hora según dos intervalos igualmente espaciados compuestos por 12 horas o números enteros. En aritmética modular, números enteros o enteros , se repiten alrededor de un número designado conocido como módulo.

En los relojes tradicionales, el módulo , o el número en el que comenzamos de nuevo, es 12. Por ejemplo, si son las 10 a. M. Y se reúne con amigos cuatro horas más tarde, lo más probable es que diga que se reunirá con ellos en 2 p.m., no las catorce en punto. Ahora, si estuviéramos trabajando en módulo 7, entonces comenzaríamos de nuevo en 7. Entonces, 6 + 5 en módulo 7 sería 4, no 11.

Otra forma de ver esto es con residuos. Cuando trabajamos en módulo n , entonces cualquier número en módulo n es igual al resto cuando ese número se divide por n . Considere nuestro ejemplo de módulo 7: 6 + 5 = 11. Cuando dividimos 11 por módulo 7, obtenemos 1 con un resto de 4; por lo tanto, 6 + 5 = 4.

Observe que cuando se trabaja con aritmética modular, hay muchos números que son equivalentes para un módulo dado. Considere el número 5 en módulo 12:

1. 5 + 12 = 17
2. 17 + 12 = 29
3. 29 + 12 = 41

Aquí, 5 equivale a 17, 29, 41, etc. Podemos expresar estas equivalencias diciendo que los números son congruentes en el módulo 12 y escribirlos usando un signo igual de 3 barras como se muestra aquí:

Adición en aritmética modular

Puede realizar muchas de las mismas operaciones con matemáticas modulares que con matemáticas normales. Aquí hay algunas reglas para la suma en aritmética modular:

Con base en estas reglas, podemos sumar los números y luego encontrar la suma en el módulo n . Alternativamente, primero podemos encontrar cada uno de los números en el módulo n y luego sumarlos. Intentemos trabajar en módulo 8.

¿Qué es (4 + 7 + 6 + 8) mod 8?

1. Suma los números entre paréntesis: 4 + 7 + 6 + 8 = 25
2. Para encontrar 25mod8, realice la división: 25/8 = 3 con un resto de 1
3. Por lo tanto, (4 + 7 + 6 + 8) mod8 es congruente con 25mod8, que es congruente con 1mod8

Resta en aritmética modular

Las siguientes reglas se pueden utilizar para realizar restas en aritmética modular:

Nuevamente, tenemos dos opciones. Primero podemos restar los números y encontrar el módulo n . O podemos encontrar cada uno de los números en el módulo n primero y luego realizar la resta. En este ejemplo, trabajemos en módulo 5.

¿Qué es (104 – 53) mod5?

1. Reste los números entre paréntesis: 104 – 53 = 51. Aquí, (104 – 53) mod5 es congruente con 51mod5.
2. Realice la división: 51/5 = 10 con un resto de 1. Entonces, (104 – 53) mod5 es congruente con 1mod5.
3. Alternativamente, podríamos encontrar primero 104mod5 y 53mod5, o 4mod5 y 3mod5 respectivamente, y luego restar: 4mod5 – 3mod5 es congruente con 1mod5.

Cuando se trata de restar, puede terminar con un número negativo. Por ejemplo, supongamos que son las 4:00 a. M. O p. M. Y queremos saber qué hora era hace 11 horas, o (4 – 11) mod12 = -7mod12. Para averiguar cómo el resultado es congruente con mod12, sumamos múltiplos de 12 hasta que lleguemos a un número que esté entre 0 y 11. -7 + 12 = 5

Aquí, -7mod12 es congruente con 5mod12, lo que significa que eran las 5:00 AM o PM hace 11 horas. En general, cuando obtiene un número negativo y está trabajando en el módulo n , agregue múltiplos de n al número negativo hasta que obtenga un número entre 0 y n – 1.

Multiplicación en aritmética modular

Podemos usar las siguientes reglas para realizar multiplicaciones en aritmética modular:

Aquí, podemos realizar la multiplicación y luego encontrar ese número en módulo n . O bien, podemos encontrar cada número en el módulo n primero y luego multiplicarlos. Trabajemos en módulo 18.

¿Qué es (14 * 20) mod18?

1. Multiplica los números entre paréntesis: 14 * 20 = 280mod18
2. Realice la división: 280/18 = 15 con un resto de 10. Entonces, (14 * 20) mod18 es congruente con 10mod18
3. También podríamos encontrar primero 14mod18 y 20mod18, o 14mod18 y 2mod18 respectivamente, y luego multiplicar los resultados. Aquí, (14mod18) * (2mod18) es congruente con 28mod18. Cuando dividimos 28 entre 18, obtenemos 1 con un resto de 10; entonces, (14 * 20) mod18 es congruente con 10mod18.

Resumen de la lección

La aritmética modular también se llama aritmética de reloj porque las reglas son similares a la forma tradicional en que decimos la hora. En aritmética modular, tenemos un módulo , que es el entero , o número entero, en el que comenzamos de nuevo.

Al sumar, restar o multiplicar en módulo n , podemos hacer una de dos cosas:

1. Podemos realizar la operación primero y luego encontrar ese número en el módulo n dividiéndolo por n e identificando el resto
2. También podemos encontrar cada número en el módulo n individualmente y luego realizar la operación en esos números

De cualquier manera, obtendremos la misma respuesta. No olvide esta otra regla importante: cuando el resultado sea un número negativo, agregue múltiplos del módulo hasta que termine con un número entre 0 y el módulo menos 1. Esa será su respuesta.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador