Base natural y definición e importancia

¿Cuál es la base natural e?

La base naturalmies un número irracional, lo que significa que los decimales son infinitos y no muestran un patrón. Los primeros dígitos de e son: 2.718281828459…. El número e se utiliza como base en funciones exponenciales y logarítmicas. En funciones exponenciales, e se usa en la función natural {eq}y=e^x. {/eq} En logaritmos, e es la base del registro natural que se puede escribir de dos maneras: {eq}y=log_{e}x {/eq} o {eq}y=ln(x) {/eq} donde el log natural “ln” implica una base de e, al igual que la ecuación {eq}y=log(x) {/eq} implica una base de 10.

Hay muchas formas en que los matemáticos han intentado calcular el valor exacto de e, pero nadie lo ha logrado a la perfección. Algunos de los enfoques más comunes incluyen analizar la función {eq}y = (1+1/n)^n {/eq} cuando n se acerca al infinito. Consulte la tabla de valores para ver cómo se aproxima la función a e.

norte	(1+1/n)^n
1	2.00000
10	2.59374
1000	2.71692
10000	2.71815

Otra forma es utilizar factoriales que sumen la aproximación de e. Esto se ve así: {eq}1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + {/eq}… etc. Ambos enfoques dan como resultado aproximaciones confiables de e, pero aún no crean un valor exacto.

Cómo recordar el valor de e

Existe una forma genial de recordar el valor de e con hasta 10 decimales. Usamos la frase “para expresar e recuerda memorizar una oración para memorizar esto”. Cada valor de e está representado por el número de letras de cada palabra de la frase. Por ejemplo, “a” tiene dos letras, comenzando con el valor y poniendo un decimal después. Entonces “express” tiene siete letras, creando 2.7. “e” tiene una letra, lo que nos proporciona 2,71. Esto continúa para crear 2.7182818284

-Mencionar cómo se puede recordar el valor de e (hay una frase)

Base natural e en una función exponencial

Una gráfica exponencial con base natural “e” está formada por la función {eq}f(x) = e^x {/eq}. El gráfico y la tabla de valores de esta función se representan aquí. Observe que la función se aproxima a 0 en el eje x pero nunca llega allí, lo que hace que el eje x sea una asíntota de la función.

X	e^x
-2	0,135
-1	0.368
0	1
1	2.718
2	7.389
3	20.085

Los gráficos de {eq}y=e^x {/eq} pueden resultar muy útiles en situaciones financieras. Si tiene una cuenta bancaria que se capitaliza continuamente, su dinero crecerá a una tasa de {eq}e^rt {/eq} donde r representa la tasa porcentual y t el tiempo. Graficar una función para representar tu cuenta bancaria puede ayudarte a visualizar cómo aumentará tu dinero y ayudarte a planificar el futuro.

Base de logaritmo natural

Un logaritmo (log) es una función u operación que es inversa de una función exponencial. Esto significa que cada coordenada (x,y) en una gráfica exponencial es una coordenada (y,x) en una gráfica logarítmica. La función principal de un logaritmo tiene una base de 10. Cuando un logaritmo tiene una base de “e”, se convierte en el logaritmo natural denotado por {eq}ln(x) {/eq}. Para graficar {eq}y=lnx {/eq} usamos la tabla de {eq}x=e^y {/eq}. Observe que en el gráfico del logaritmo natural, nuestra asíntota ahora es el eje y, a diferencia del eje x en el gráfico de {eq}y=e^x {/eq}.

y	e^y	punto en la gráfica de lnx
-2	0,135	(0,135, -2)
-1	0.368	(0,368, -1)
0	1	(1,0)
1	2.718	(2.718,1)
2	7.389	(7.389,2)

Poner las gráficas de {eq}y=e^x {/eq} (azul) y {eq}y=ln(x) {/eq} (verde) en el mismo plano de coordenadas nos ayuda a visualizar su relación inversa. Son reflejos perfectos sobre la línea roja, y=x.

Ejemplo: Registro natural de e

Si notaste que en la gráfica y la tabla de {eq}y=ln(x) {/eq} hay un punto (2.718,1). Esto significa que cuando evalúas el logaritmo natural de e, la solución es 1. Podemos usar nuestro conocimiento de las inversas para demostrar esto. Para convertir exponenciales y registros, utilizamos la siguiente fórmula de conversión: {eq}y=log_{b}x -> e^y=x {/eq}. Evaluar {eq}e^y=x {/eq} cuando y =1 da como resultado {eq}e^1 = 2,718… {/eq}. Esto es y = 1 y x = 2,781, que cuando se sustituye en {eq}y=log_{e}x = ln(x) {/eq} obtenemos {eq}ln(e)=1 {/eq}.

Importancia del número natural e

El hallazgo del número natural e abrió muchas puertas a los matemáticos. Más específicamente, es una de las cinco constantes de la identidad de Euler (junto con 0, 1, i y {eq}\pi {/eq})

}]. Además, como se mencionó anteriormente, se utiliza mucho en las finanzas en torno a intereses compuestos continuamente.

Resumen de la lección

La base natural de e se utiliza en muchos aspectos de las matemáticas, más específicamente en funciones exponenciales y logarítmicas. Es un número irracional que comienza con 2,71828184…. y continúa infinitamente sin ningún patrón distintivo. Las funciones {eq}y=ln(x) {/eq} y {eq}y=e^x {/eq} son inversas, lo que significa que se reflejan sobre la recta {eq}y=x {/eq} y para cada punto (x,y) en un gráfico, hay un punto (y,x) equivalente en el otro. La gráfica exponencial tiene una asíntota en el eje x, mientras que la gráfica de logaritmo natural tiene una asíntota en el eje y. Al evaluar {eq}ln(x) {/eq} usamos la función inversa. Algunas soluciones notables son que {eq}ln(e) = 1 {/eq} y {eq}ln(1) =0 {/eq}.