Cálculo de derivadas de ecuaciones exponenciales

Cálculo de derivadas de exponenciales

La población está modelada por un exponencial

¿Alguna vez has escuchado a alguien decir que la población de la Tierra está explotando? ¿O que hace mucho tiempo, la población no era muy grande, pero luego, de repente, mucha gente estaba aquí y simplemente ha estado creciendo y creciendo? Puede que nos haya tomado cientos de años duplicar nuestra población, pero ahora no está tomando tiempo. Entonces, la tasa de crecimiento de nuestra población ha ido en aumento.

A menudo, la población se modela mediante una exponencial . Alguna población es f (t) , y está modelada por e ^ t . Entonces, si la población está dada por una ecuación P = e ^ t , ¿podemos averiguar qué tan rápido está creciendo realmente la población? Una forma de saber qué tan rápido está creciendo es considerar a la población como algo que está cambiando. Queremos saber la tasa de su cambio. Queremos conocer la derivada de la población.

Para hacer eso, necesitamos saber cómo calcular la derivada de una exponencial. Resulta que las exponenciales son realmente geniales. Pero, ¿qué es exponencial? Un exponencial es como e ^ x , donde e es un número alrededor de 2,72. Veamos qué es e ^ x para algunos valores diferentes de x . En x = 0, e ^ x = 1. En x = 1, e ^ x = aproximadamente 2,72. Cuando x = 2, tengo e ^ x = 2.72 (aproximadamente) al cuadrado, que es 7.39. Veamos la pendiente de cada uno de estos números. En x= 0, si calculo la pendiente de la tangente de e ^ x , encontraré que la pendiente es igual a 1. En x = 1, donde f (x) es aproximadamente 2,72, también puedo calcular la pendiente de la tangente. Si lo grafica (subida / corrida), encuentro que la pendiente de la tangente en 1 es aproximadamente 2,72. Esto es interesante. ¿Qué pasa a las 2? En x = 2, si calculo la pendiente de la tangente, encuentro que, quizás no sea sorprendente, la pendiente de la tangente es aproximadamente 7,39. Encontramos que la pendiente, en cualquier punto dado, es en realidad igual al valor en ese punto. Entonces, dado el punto (2, 7.39), la pendiente en este punto es en realidad 7.39. Eso es cierto en cualquier parte de esta curva.

Para f (x) = e ^ x, la pendiente de la tangente también es igual a e ^ x

Lo que esto nos dice es que para f (x) = e ^ x , la derivada (la pendiente de la tangente) también es igual a e ^ x . Esto es increíble. Piénselo: en cualquier punto de este gráfico, la pendiente es igual al valor. Además, ¡la función y su derivada son lo mismo! Entonces, si toma la derivada de la derivada, terminará con e ^ x . Si toma la derivada de eso, terminará con e ^ x . No importa cuántas veces mires la pendiente, la pendiente siempre es igual a e ^ x .

Reglas de derivadas de exponenciales

Veamos lo inverso de esto. Si y = e ^ x , entonces ln ( y ) = x . Entonces, ¿qué sucede con la derivada de los troncos naturales ? Digamos f (x) = ln ( x ). La derivada es igual a 1 / x (no lo probaré ahora). Si tiene una función que, en lugar de ser e ^ x , es igual a una constante, digamos a ^ x , entonces la derivada de a ^ x es f` (x) = ( a ^ x ) ln ( a). Si tiene un logaritmo que no es base e (algún logaritmo que no es el logaritmo natural), puede escribir que f (x) = (log base a ) x , y puede encontrar la derivada de eso como f` (x) = (1 / (ln ( a )) (1 / x ). Puedes ver que nuevamente tenemos 1 / x , al igual que en el registro natural, pero tenemos este término adicional. Entonces, si volvemos a nuestro ejemplo de población, P = e ^ t , entonces la población está cambiando con una tasa de e ^ t . Cuanto más grandes somos, más grandes nos volvemos. Bueno, eso explicaría este tipo de gráfico.

Encontrar la derivada en el primer problema de ejemplo

Primer ejemplo

Tome algunos otros ejemplos, como f (x) = 3 ( e ^ x ) + 2ln ( x ). ¿Cuál es el derivado de eso? Bueno, vamos a dividir y conquistar. Entonces, la f` (x) es igual a la derivada con respecto a x de toda esta ecuación. Voy a dividir esto, porque sé que f` (x) = d / dx ((3 ( e ^ x )) + (2ln ( x ))). Sé que puedo sacar las constantes: 3 d / dx ( e ^ x ) + 2 d / dx (ln ( x )). Si recuerdo mis reglas derivadas, la derivada de e^ x es e ^ x , y la derivada de ln ( x ) = 1 / x . Entonces f` (x) = 3 ( e ^ x ) + 2 (1 / x ) o f` (x) = 3 ( e ^ x ) + 2 / x .

Segundo ejemplo

Podemos ver un ejemplo un poco más complejo: f (x) = (4 ^ x ) + 9 (log base 10 ( x )). La derivada es f` (x) = d / dx ((4 ^ x ) + 9 (base logarítmica 10 ( x ))). Voy a dividirlo y sacar la constante: f` (x) = d / dx (4 ^ x ) + 9 d / dx (log base 10 ( x )). Si recuerdo que d / dx ( a ^ x ) = ( a ^ x ) ln ( a ) y d / dx (log base a ( x)) = (1 / ln ( a )) (1 / x) , entonces puedo conectarlos. Así que tengo f ‘(x) = (4 ^ x ) ln (4) + 9 (1 / ln (10)) (1 / x ). Puedo simplificar esto sacando las constantes (ln (4) es una constante justa; es un número) para que obtengamos f ‘(x) = ln (4) (4 ^ x ) + (9 / ln (10) ) (1 / x ).

La solución para el segundo problema de ejemplo

Resumen de la lección

Revisemos. Primero, los exponenciales son asombrosos. Son increíbles, porque si tienes f (x) = e ^ x , entonces la derivada, f` (x) , es e ^ x . Si tiene f (x) = ln ( x ), entonces f` (x) = 1 / x . Si tiene f (x) = a ^ x , entonces f` (x) = ( a ^ x ) ln ( a ). Y si tienes f (x) = log base a ( x ), entonces la derivada es f` (x)= (1 / ln (a)) (1 / x) .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador