Hipérbola: forma estándar, definición, ecuaciones y ejemplos

Hipérbola: descripción general

Una hipérbola es una sección cónica, lo que significa que es el espacio donde un plano interseca parte de un cono.

Las hipérbolas están formadas por dos líneas curvas. Las dos curvas son reflejos perfectos entre sí. Se abren hacia arriba y hacia abajo (verticalmente) o hacia los lados (horizontalmente), y se orientan en direcciones opuestas.

Centro, focos y vértices de la hipérbola

Los vértices de las hipérbolas se encuentran donde la hipérbola forma la curva más drástica. La curva de cada hipérbola contiene todos los puntos que están a la misma distancia de un punto llamado foco. Hay una línea imaginaria que divide las hipérbolas por la mitad de manera perfecta. El punto medio de esta línea se llama centro. Los focos y los vértices también se encuentran en esta línea. Observa el siguiente diagrama para ver la diferencia entre los vértices, los focos y el punto central.

Cómo hallar la ecuación de una hipérbola

Cómo hallar la ecuación de una hipérbola a partir de sus focos y vértices

• Determina si la hipérbola es de izquierda a derecha o de arriba a abajo observando los focos y vértices en el plano de coordenadas.
• Encuentre el punto central mirando el gráfico o introduciendo los vértices en la fórmula del punto medio.
• Halla el valor de a y b. Esto se puede hacer usando las fórmulas para los vértices y los focos, así como la fórmula {eq}c^2 = a^2 + b^2 {/eq}.
• Reemplace h, k, a y b en la fórmula de forma estándar correcta y simplifique.

Vea a continuación un ejemplo detallado de cómo encontrar la ecuación de una hipérbola dados los vértices y los focos.

Cómo escribir la ecuación de forma estándar de una hipérbola dada su gráfica

• Observa el gráfico para determinar los vértices. Los vértices son los puntos de la curva más pronunciada de cada curva.
• Encuentre el punto central ( h, k ) ya sea mirando el gráfico si es obvio o usando la fórmula del punto medio.
• Encuentra los valores de a y b ; a se puede encontrar usando el hecho de que la distancia entre los dos vértices es 2 a, y b se puede encontrar usando la fórmula de focos y la fórmula {eq}b^2=c^2-a^2 {/eq}’.
• Reemplace los valores de h, k, a y b en la fórmula de forma estándar correcta, dependiendo de si la hipérbola está orientada hacia arriba y abajo o hacia la izquierda y la derecha.

Vea a continuación un ejemplo detallado de cómo encontrar la ecuación de forma estándar de una hipérbola dado el gráfico.

Ejemplos de la forma estándar de la hipérbola

Ejemplo uno: determinar la ecuación dados los vértices y los focos

• Determina si la hipérbola está orientada hacia arriba y hacia abajo o de izquierda a derecha. Esto se puede determinar graficando los vértices y los focos. Si estos puntos forman una línea horizontal, la hipérbola está orientada de izquierda a derecha. Si forman una línea vertical, la hipérbola está orientada hacia arriba y hacia abajo. Si los vértices son (1, 1) y (-3, 1) y los focos son (5, 1) y (-7, 1). Grafica estos cuatro puntos en el plano de coordenadas y conéctalos para ver que forman una línea horizontal. Esto significa que es una parábola de izquierda a derecha.
• A continuación, determina el punto central ( h, k ). Dado que los vértices de una hipérbola de izquierda a derecha son ( h + a, k ) y ( h – a, k ), se puede determinar que k = 1. Para determinar h, observa el gráfico de los vértices y encuentra el punto medio entre los dos vértices. Si esto no es obvio al observar el gráfico, se puede usar la fórmula del punto medio para encontrar el punto medio de los dos vértices. La fórmula del punto medio es {eq}(x_m, y_m) = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) {/eq}. Al observar el gráfico y/o usar la fórmula del punto medio, se puede determinar que el punto central es (-1, 1), donde h = -1 y k = 1.

• Después de determinar el valor de h y k, se deben determinar los valores de a y b. Primero, el valor de a se puede determinar introduciendo h y k en una de las fórmulas de vértice. Uno de los vértices es ( h + a, k ) y sabemos que su valor es (-1, 1). Introduce h en h + a y configúralo igual a 1. {eq}-1+a=1 \\a=2 {/eq} Después de determinar el valor de a, es necesario obtener el valor de b. La fórmula {eq}b^2=c^2-a^2 {/eq} se puede utilizar para determinar b, pero primero se necesita el valor de c. Las fórmulas de focos para una hipérbola de izquierda a derecha son ( h + c, k ) y ( h – c, k ). Elige uno de los dos focos a utilizar. Introduce los valores de h y k y configúralo igual al valor real de los focos. El valor real del primer foco es (5, 1). Entonces {eq}-1+c=5 \\\ c=6.{/eq} Ahora la fórmula mencionada anteriormente se puede usar para determinar b porque se conocen los valores de a y c.

{eq}b^2 = c^2 – a^2 \\b^2 = 5^2 – 2^2 \\ b^2 = 25 – 4 \\b^2 = 19 \\b = \sqrt{19} \\b = 4,4 {/eq}

• Ahora se conocen todos los valores necesarios: h = -1, k = 1, a = 2 y b = 4,4. Por último, introduzca los puntos en la fórmula estándar para una parábola de izquierda a derecha: {eq}\frac{(xh)^2}{a^2} – \frac{(yk)^2}{b^2} = 1 \\ \frac{(x-(-1))^2}{2^2} – \frac{(y-1)^2}{4,4^2} = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{4} – \frac{(y-1)^2}{19} = 1 {/eq}

Ejemplo dos: determinar la ecuación dada la gráfica

• Al observar este gráfico en el plano de coordenadas, se puede determinar que los vértices son (-2, 8) y (-2, -2).
• El punto central está en el punto medio de los dos vértices:

{eq}(x_m, y_m) = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) \\((x_m, y_m) = (\frac{-2+-2}{2}, \frac{-2+8}{2}) \\(x_m, y_m) = (-2, 3) {/eq}. El punto central es (-2, 3), donde h = -2 y k = 3.

• Determinar el valor de a y b. El valor de a se puede encontrar hallando la distancia entre los dos vértices. La distancia entre los dos vértices es 10. Si 2 a = 10, entonces a = 5. El valor de b se puede encontrar usando la fórmula {eq}b^2=c^2-a^2 {/eq}, pero para usar esta fórmula se debe determinar el valor de c. El valor de c se puede determinar usando los valores de h, k y los focos. Dado que los focos son ( h, k + c ) y ( h, k – c ), y los valores de los focos basados ​​en el gráfico son (-2, -5) y (-2, 11), iguala -5 a k + c y resuelve para c. -5 = 3+ c, entonces c = -8. Ahora que a y c son conocidos, la fórmula anterior se puede usar para resolver para b. {eq}b^2=c^2-a^2 \\b^2 = (-8)^2 – 5^2 \\b^2 = 64-25 \\b^2 = 39 \\b = \sqrt{39} \\b = 6.2 {/eq}
• Ahora se conocen los valores de h, k, a y b: h = -2, k = 3, a = 5 y b = 6,2. Utilice la fórmula para la forma estándar de una hipérbola vertical, sustituya estos cuatro valores y simplifique.

{eq}\frac{(yk)^2}{b^2} – \frac{(xh)^2}{a^2} = 1 \\ \frac{(y-3)^2}{6.2^2} – \frac{(x-(-2)^2}{5^2} = 1 \\ \frac{(y-3)^2}{39} – \frac{(x+2)^2}{25} = 1 {/eq}

Resumen de la lección

Las hipérbolas son secciones cónicas que se componen de dos curvas. Las curvas son reflejos especulares entre sí y pueden estar orientadas hacia arriba y hacia abajo o hacia la izquierda y hacia la derecha. Cada curva tiene un vértice, el punto donde la curva es más pronunciada. Los focos, el vértice y el punto central se encuentran en una línea imaginaria que divide las curvas por la mitad perfectamente. Todos los puntos de cada curva están a la misma distancia de los focos. El punto central es el punto medio de un segmento de línea que conecta los vértices.

La ecuación de forma estándar para una hipérbola que se abre hacia la izquierda y hacia la derecha es la siguiente:

{eq}\frac{(xh)^2}{a^2} – \frac{(yk)^2}{b^2} = 1 {/eq}

En esta ecuación, el punto central es ( h, k ), los vértices son ( h + a, k ) y ( h – a, k ), y los focos son ( h + c, k ) y ( h – c, k ).

La ecuación de forma estándar para una hipérbola que se abre hacia arriba y hacia abajo es la siguiente:

{eq}\frac{(yk)^2}{b^2} – \frac{(xh)^2}{a^2} = 1 {/eq}

En esta ecuación, el punto central es ( h, k ), los vértices son ( h + b, k ) y ( h – b, k ), y los focos son ( h, k + c ) y ( h, k – c ).

Una hipérbola con curvas que se abren hacia la izquierda y la derecha y el centro en el origen (0, 0) tiene una ecuación en forma estándar de:

{eq}\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 {/eq}

Una hipérbola con curvas que se abren hacia arriba y hacia abajo y el centro en el origen (0, 0) tiene una ecuación en forma estándar de:

{eq}\frac{y^2}{a^2} – \frac{x^2}{b^2} = 1 {/eq}

Para encontrar la ecuación de forma estándar de una hipérbola dados los focos y vértices:

• Determina si la hipérbola es de izquierda a derecha o de arriba a abajo observando los focos y vértices en el plano de coordenadas.
• Encuentre el punto central mirando el gráfico o introduciendo los vértices en la fórmula del punto medio.
• Halla el valor de a y b. Esto se puede hacer usando las fórmulas para los vértices y los focos, así como la fórmula {eq}c^2 = a^2 + b^2 {/eq}.
• Reemplace h, k, a y b en la fórmula de forma estándar correcta y simplifique.

Para encontrar la ecuación de forma estándar de una hipérbola dada la gráfica:

• Observa el gráfico para determinar los vértices. Los vértices son los puntos de la curva más pronunciada de cada curva.
• Encuentre el punto central ( h, k ) ya sea mirando el gráfico si es obvio o usando la fórmula del punto medio.
• Halla los valores de a y b. El valor de a se puede hallar utilizando el hecho de que la distancia entre los dos vértices es 2 a. El valor de b se puede hallar utilizando la fórmula de los focos y la fórmula {eq}b^2=c^2-a^2 {/eq}.
• Reemplace los valores de h, k, a y b en la fórmula de forma estándar correcta, dependiendo de si la hipérbola está orientada hacia arriba y abajo o hacia la izquierda y la derecha.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador