Rodrigo Ricardo

Serie aritmética: fórmula y ecuación

Publicado el 22 noviembre, 2020

¿Qué es una serie aritmética?

Una serie aritmética es la suma de una secuencia aritmética. Un ejemplo de secuencia aritmética es:

3, 7, 11, 15, 19,…

Puedes saber por las elipses al final de la secuencia, esta es una secuencia infinita. Tiene una diferencia común de 4. Para cambiar esto a una serie aritmética, simplemente agregamos los términos de la secuencia de la siguiente manera:

3 + 7 + 11 + 15 + 19 +…

Notación de suma

Se puede presentar una serie aritmética usando las elipses; sin embargo, también existe una notación específica que expresa una serie aritmética. Esto requiere la letra griega sigma mayúscula.


Sigma letra griega
notatio serie

Si ve este símbolo dentro de un contexto matemático, está agregando los elementos de una secuencia. Veamos la noción de suma con todas sus otras partes, como se muestra en la Figura 1:


Figura 1
Ejemplo 1

La expresión 2 n + 3 es la regla para la secuencia que se suma. La ecuación n = 1 debajo del símbolo de suma nos dice que comenzaremos a sumar con el primer término de la serie. El número encima del símbolo de suma representa el último término de la serie. En este ejemplo, el último término es el cuarto término. Podemos encontrar el primer término reemplazando 1 para n : a (1) = 2 (1) + 3 = 5. Podemos encontrar los otros términos de la misma manera:

(2 (1) + 3) + (2 (2) + 3) + (2 (3) + 3) + (2 (4) + 3) = 5 + 7 + 9 + 11

Este ejemplo es una serie finita con una suma de 32. Se detiene en el cuarto término. En la Figura 2 se muestra un ejemplo de una serie infinita. Observe el signo de infinito encima de la notación de suma. Una serie infinita continúa sin fin.


Figura 2
ejemplo 2

La serie infinita en la Figura 2 se puede expresar de la siguiente manera:

3 + 6 + 9 + 12 +…

Fórmula de la serie aritmética

Podemos encontrar la suma de una serie aritmética finita simplemente sumando los términos; sin embargo, eso puede volverse oneroso cuando hay muchos términos. Necesitamos una fórmula que nos ayude a encontrar fácilmente la suma de una serie aritmética. Existe una fórmula y se muestra en la Figura 3:


figura 3
ecuación

La fórmula suma los términos primero y último de la serie y luego se divide la suma por 2. Este cálculo nos da el promedio o media de la primera y n º términos. Dado que se trata de una serie aritmética, este cálculo también nos da el promedio de todos los términos. Luego multiplicamos por el número de términos, que se expresa como n .

La suma de una serie aritmética infinita no existe. Una serie aritmética infinita continúa agregando nuevos términos con un valor absoluto mayor que el término anterior. ¡También puede notar que nuestra fórmula en la Figura 3 no funcionaría porque no hay un último término!

Encontrar sumas

Veamos algunos ejemplos para poner en práctica lo que hemos aprendido.

Ejemplo 1

Encuentre la suma de los primeros 20 términos de la siguiente serie:

3 + 8 + 13 + 18 + 23 +…; a ( n ) = a (20) = 98

Aunque esta es una serie aritmética infinita, solo se nos pide que encontremos la suma de los primeros 20 términos. Por lo tanto, n = 20. Nuestro primer término es 3, entonces a (1) = 3. El término 20 es 98, entonces a ( n ) = a (20) = 98. Podemos reemplazar estos valores en la fórmula para la suma de una serie aritmética finita:

S (20) = 20 ((3 + 98) / 2))

S (20) = 20 (50,5) = 1010

Ejemplo 2

Encuentra la suma de la serie:

ejemplo2

La notación nos dice que esta es una serie finita con 45 términos, por lo que n = 45. Necesitamos encontrar los valores de los términos 1 y 45:

a (1) = 4 (1) + 11 = 4 + 11 = 15

a (45) = 4 (45) + 11 = 180 + 11 = 191

Podemos insertar estos valores en la fórmula para la suma de una serie aritmética finita:

S (45) = 45 ((15 + 191) / 2))

S ( 45) = 45 (103) = 4.635

Resumen de la lección

Una serie aritmética es la suma de una secuencia aritmética. Una serie aritmética se puede expresar insertando un signo ‘+’ entre cada par de números en una secuencia aritmética. Si desea ser más astuto matemáticamente, muestre una serie aritmética usando la notación de suma, que también se llama notación sigma. Finalmente, la suma de una serie aritmética finita se puede encontrar fácilmente usando la fórmula presentada en la lección; recuerde, solo tomamos el promedio del primer y último término y lo multiplicamos por el número de términos.

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