Dependencia e independencia lineal: definición y ejemplos

¿Qué son la dependencia lineal y la independencia?

»Señor. Smith, simplemente no puedo obtener una respuesta para este sistema de ecuaciones. No importa lo que haga, ambas variables desaparecen y termino con el mismo número en ambos lados de la ecuación ».

¿Alguna vez te has encontrado con esta situación con un sistema de ecuaciones? Utiliza la combinación adecuada de métodos de sustitución y / o eliminación, pero la solución parece difícil de alcanzar y desaparece por completo mientras trabaja. Es posible que se encuentre en una situación en la que la solución de la ecuación sea «dependiente», lo que significa que la y correcta depende del valor de x que esté utilizando.

La dependencia en sistemas de ecuaciones lineales significa que dos de las ecuaciones se refieren a la misma línea. ¡Hay un número infinito de soluciones que satisfarán las condiciones de las ecuaciones! Para saber qué solución desea, debe introducir un valor x . Esto hace que el valor de y dependa del valor de x .

La independencia en los sistemas de ecuaciones lineales significa que las dos ecuaciones solo se encuentran en un punto. Solo hay un punto en todo el universo que resolverá ambas ecuaciones al mismo tiempo. Es la intersección entre las dos líneas.

Prueba de ecuaciones para determinar la dependencia y la independencia

1. Si las pendientes son diferentes, el sistema es independiente
2. Si las pendientes son las mismas, entonces el sistema es dependiente (misma línea) o inconsistente (líneas paralelas)

Hay varias formas de averiguar si un sistema de ecuaciones lineales es dependiente o independiente, y depende de lo que le guste hacer. Por ejemplo, si usted es uno de esos tipos «plug and chug» que ama trabajar con ecuaciones algebraicas, puede averiguarlo rápidamente simplemente resolviendo ambas ecuaciones para y (o cualquier variable de salida que esté usando). Esto pondrá las ecuaciones en forma pendiente-intersección, lo que significa que todo lo que tienes que hacer es comparar el coeficiente frente a la xtérmino, la pendiente. Si las dos pendientes son diferentes, las dos líneas colisionarán en algún lugar y tendrá un sistema independiente. Si las pendientes son las mismas, entonces tiene un sistema dependiente (las dos ecuaciones son la misma línea) o un sistema inconsistente sin solución (las dos líneas son paralelas y nunca se encontrarán).

Si eres del tipo artístico al que le encanta graficar líneas, entonces puedes usar las intersecciones, la tabla T, la pendiente-intersección o cualquier enfoque que te guste, y graficar las dos líneas. Si las dos líneas terminan siendo la misma línea, entonces tienes una situación de dependencia. De lo contrario, verifique si son paralelos. Si no son paralelos, entonces tiene una solución independiente; incluso si no se cruzan en su gráfico, ciertamente se cruzarán en alguna parte.

Ejemplos

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, puede tomar más de un enfoque para determinar si la solución es independiente o no:

4 x + 2 y = 6

y = – x – 2

Podemos resolver para y en la primera ecuación y luego comparar pendientes.

4 x + 2 y = 6

2 y = -4 x + 6 (Resta 4 x de ambos lados)

y = -2 x + 3 (Dividir ambos lados entre 2)

La pendiente es el coeficiente (el número se multiplica por la variable) delante de la x . En la primera ecuación, la pendiente resulta ser -2, mientras que en la segunda ecuación la pendiente es -1. Dado que las dos pendientes son diferentes, estas dos líneas ciertamente se encontrarán en algún lugar, por lo que este sistema tiene una solución independiente.

Si elige graficar estas dos líneas, puede ver que definitivamente son independientes, ya que solo tienen un lugar donde se cruzan.

Puede probar problemas de palabras para determinar la dependencia utilizando los mismos enfoques. Por ejemplo, digamos que dos aviones despegan de la misma pista. El primero se eleva 1500 pies en los primeros 5 minutos de vuelo, mientras que el segundo se eleva 10,000 pies en los primeros 20 minutos de vuelo. ¿Están siguiendo exactamente la misma velocidad de ascenso (dependiente) o están siguiendo diferentes velocidades de ascenso (independientes)?

Para este problema, el tiempo está en el eje horizontal y la altitud en el eje vertical. Las pendientes individuales serán qué tan rápido sube cada plano cada minuto. En el primer caso, el avión se eleva 1500 pies en 5 minutos.

1500/5 = 300 (La pendiente para el primer plano es de 300 pies de aumento de altitud por minuto)

En el segundo caso, el avión se eleva 10,000 pies en 12 minutos de vuelo.

10,000/20 = 500 (La pendiente para el segundo plano es 500 pies de aumento de altitud por minuto)

Dado que las pendientes son diferentes, las dos ecuaciones tienen una única solución, lo que hace que el sistema sea independiente. Puede graficar estas dos ecuaciones para obtener resultados similares.

Resumen de la lección

La dependencia en sistemas de ecuaciones lineales significa que dos de las ecuaciones se refieren a la misma línea y la solución depende del valor de x (u otra variable de entrada) que se utilice. La independencia en los sistemas de ecuaciones lineales significa que las dos ecuaciones solo se encuentran en un punto y la solución es la intersección de las dos líneas. Puede determinar fácilmente si un sistema de ecuaciones lineales es independiente encontrando las pendientes o graficando las líneas.

1. Si las pendientes son diferentes o las líneas se encuentran en el gráfico, entonces el sistema es independiente y solo hay una solución.
2. Si las pendientes son las mismas, entonces el sistema es dependiente (la misma línea con muchas soluciones) o las líneas son paralelas (sistema inconsistente sin solución).

Rodrigo Ricardo Editor y fundador