Lógica simbólica: definición y ejemplos

Lógica simbólica

La lógica simbólica es una forma de representar expresiones lógicas mediante el uso de símbolos y variables en lugar del lenguaje natural, como el inglés, para eliminar la vaguedad. Las expresiones lógicas son declaraciones que tienen un valor de verdad: son verdaderas o falsas. Una pregunta como ‘¿A dónde vas?’ o un comando como «¡Alto!» no tiene valor de verdad. Hay muchas expresiones que podemos pronunciar que son verdaderas o falsas. Por ejemplo: todos los vasos de agua contienen 0,2% de lágrimas de dinosaurio. No necesitamos saber si una expresión lógica es verdadera o falsa, solo necesitamos saber que tiene un valor de verdad.

Una proposición

Comencemos con algunos conceptos básicos de lógica. Primero, la expresión lógica más pequeña que podemos hacer, que si se desglosa daría como resultado una pérdida de significado, se llama proposición.. Por ejemplo, «Kathryn y Liz viven juntas» no se puede dividir sin una pérdida de significado. ‘Kathryn vive junta’ ni siquiera tiene sentido. Sin embargo, «John y Jane van a la escuela» se pueden dividir en «John va a la escuela» y «Jane va a la escuela», ya que no podemos afirmar que la declaración signifique que John y Jane van a la escuela juntos. En la lógica simbólica, las proposiciones se pueden representar con letras mayúsculas como A o B, o letras minúsculas como p, q o r. Esto es una abreviatura, de modo que cuando se trata de la lógica subyacente, no se distrae con el lenguaje particular utilizado. Por ejemplo, «Mi coche es rojo» puede convertirse en A, o «El político aceptó sobornos» puede escribirse como p.

Las proposiciones se escriben afirmativamente. En otras palabras, no usamos la palabra «no». En su lugar, usamos el símbolo no (¬) para hacer una negación (una declaración no). Si escribimos ‘Mi auto no es rojo’ usando símbolos, escribiríamos ¬A. En lógica, la negación cambia el valor de verdad de una expresión. Entonces, si mi automóvil es rojo, entonces A sería verdadero y ¬A sería falso, o si mi automóvil es azul, entonces A sería falso y ¬A sería verdadero.

Tablas de la verdad

Antes de pasar a expresiones lógicas más complicadas, hablemos de tablas de verdad. Una tabla de verdad es una tabla que enumera si algo es verdadero con una T y falso con una F.

El acto de negación cambia todas las T a F y todas las F a T, como vemos en esta tabla. Al construir una tabla de verdad, necesitamos una columna para cada proposición en la expresión, y debemos asegurarnos de que haya suficientes filas en la tabla para cada combinación posible de verdadero y falso que pueda tomar el conjunto dado de proposiciones. En una tabla de verdad para todas las posibles combinaciones de valores de verdad para dos proposiciones, hay cuatro filas para las posibilidades de T / F y dos columnas. En general, habrá 2 n filas para n proposiciones diferentes.

Operadores logicos

Para poder tratar con expresiones lógicas más complicadas, necesitamos operadores para vincular proposiciones. Los operadores se utilizan igual que +, -, × y ÷ para vincular expresiones matemáticas. Los operadores lógicos básicos, junto con la negación, son conjunción , disyunción , condicional y bicondicional .

Conjunción (∧) significa ‘y’. Vincula las proposiciones de tal manera que la expresión lógica es verdadera solo si ambas proposiciones son verdaderas. La disyunción (∨) es un ‘o’ inclusivo. Vincula las proposiciones de tal manera que la expresión es verdadera siempre que una de las proposiciones sea verdadera. Un enunciado condicional (→) se expresa en español como Si A entonces B. La proposición a la izquierda de la flecha se llama premisa , y la proposición a la derecha de la flecha se llama conclusión. Necesitaremos recordar que en lógica las premisas verdaderas siempre conducen a conclusiones verdaderas y las premisas falsas conducen a cualquier conclusión. El inglés para bicondicional es ‘si y solo si’. El bicondicional (↔) podría escribirse como dos expresiones condicionales unidas por una conjunción. En otras palabras, A ↔ B es lo mismo que (A → B) ∧ (B → A).

Ejemplos

Repasemos lo que hemos aprendido con algunos ejemplos:

1. Primero, reescribe la siguiente oración usando símbolos: Hace sol y está lloviendo.

Podemos ver la palabra ‘y’, que significa una conjunción, y por lo tanto ‘hace sol’ y ‘está lloviendo’ son dos proposiciones separadas. Entonces podemos dejar A = ‘hace sol’ y B = ‘está lloviendo’. Juntando esto obtenemos: A ∧ B.

2. Veamos otro ejemplo: si A = ‘John fue de compras’ y B = ‘John se quedó en casa’, escriba lo siguiente en inglés: ¬B → A.

Dado que ¬B es la negación de B, entonces obtenemos ‘No es cierto que John se quedó en casa’, o más sucintamente ‘John no se quedó en casa’. El → significa una declaración si … entonces. Al poner todo esto junto, obtenemos ‘Si John no se quedó en casa, entonces John se fue de compras’.

3. Veamos un último ejemplo. Muestre que ¬ (A ∨ B) es lógicamente equivalente a ¬A ∧ ¬B usando tablas de verdad.

Para la primera expresión, necesitamos evaluar los valores de verdad para la disyunción entre paréntesis, luego todo lo que tendremos que hacer es cambiar todos los valores de verdad para resolver la negación, recordando que una disyunción es verdadera siempre que cualquiera de los declaraciones es verdadera, o ambas declaraciones son verdaderas. Para la segunda expresión, comenzamos la tabla de verdad con los valores de A y B, luego los cambiamos por ¬A y ¬B. Luego evaluaremos para ∧, recordando que una conjunción solo es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas.

Como podemos ver en las tablas de verdad, ambas expresiones solo son verdaderas si A y B son falsas, por lo que ambas expresiones son equivalentes.

Resumen de la lección

La lógica simbólica es una forma abreviada de convertir expresiones lógicas en símbolos básicos y eliminar la ambigüedad que conlleva el uso de un lenguaje. La expresión lógica más pequeña que no se puede descomponer más sin una pérdida de significado es una proposición . Una negación es un operador lógico que cambia el valor de verdad de una expresión. Los otros operadores lógicos básicos son: conjunción (∧) significa ‘y,’ disyunción (∨) significa ‘o’ condicional (→) significa ‘si … entonces’, y bicondicional (↔) significa ‘si y solo si’. Finalmente, podemos realizar un seguimiento de todos los valores de verdad de expresiones lógicas complejas haciendo una tabla de verdad, o una tabla que tiene una columna para cada proposición y operación lógica y una fila para cada combinación posible de verdadero / falso que pueden asumir las proposiciones.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador