Cálculo de derivados de orden superior

Entendiendo el ‘idiota’

Derivados y tasa de cambio

Me encanta montar en montañas rusas. Una de mis montañas rusas favoritas de todos los tiempos es Space Mountain. En esta montaña rusa te mantienen en la oscuridad todo el tiempo. Así que imagínelo: va en la oscuridad y, de repente, lo empujan hacia un lado y luego hacia el otro mientras recorre esta Montaña Espacial. ¡Es fantástico! Pero mientras me están sacudiendo, siempre pienso en una cosa: ¿Por qué usamos el término ‘idiota’? ¿Qué significa eso?

Bueno, se remonta a los derivados y la tasa de cambio. Si tiene alguna función como y = f (t) , la posición, y , es una función del tiempo, t . Di que esta es mi altura en la montaña rusa. Entonces puedo mirar y` ( dy / dt ), que es la tasa de cambio, d / dt , de mi posición, y . Entonces, esta tasa de cambio es mi velocidad , es lo rápido que cambia mi altura en función del tiempo. Podría tomar la derivada de eso, y ‘ ‘ , o (( d ^ 2) y ) / dt^ 2, como la derivada de la tasa de cambio de posición, por lo que es la derivada de la velocidad. Y la derivada de la velocidad es la aceleración . Bueno, la aceleración también puede cambiar, así que puedo escribir y“` , y esa es la tasa de cambio de la aceleración. Y lo rápido que cambia mi aceleración se conoce como tirón .

Entonces, ¿sabes cómo en una montaña rusa te detienes por completo al principio? No hay aceleración, ni velocidad, ni nada. Luego, de repente, se mueve bruscamente hacia adelante. Eso es un cambio en tu aceleración; eso es d / dt de tu aceleración. Entonces, la clave aquí es que la derivada es solo una tasa de cambio. Pero en el mundo real, nada es estático. Todo es dinámico; todo cambia. Estático significa estático e inmutable, y dinámico significa cambiante. Mide este cambio usando derivadas.

Encontrar al idiota en el primer problema de ejemplo

Encontrar la tercera derivada

Hagamos un ejemplo. Digamos que tenemos la posición, f (t) , en función del tiempo, t , y es igual a sin ( t ) + t ^ 3. Sé que la velocidad es la derivada de la posición, entonces f` (t) es d / dt sin ( t ) + t ^ 3. Esa es mi posición. Puedo encontrar esta derivada dividiendo y conquistando primero, entonces d / dt sin ( t ) + d / dt ( t ^ 3). Bueno, usando mis reglas de derivadas aquí, d / dt sin ( t ) = cos ( t ), y d / dt ( t ^ 3) es 3 t^ 2, entonces mi velocidad es cos ( t ) + 3 t ^ 2. Mi aceleración es la derivada de la velocidad, es lo rápido que cambia mi velocidad, y eso es f ‘ ‘ , od / dt f` (t) . Puedo calcular esto encontrando la derivada, d / dt , de mi velocidad, que es cos ( t ) + 3 t ^ 2. De nuevo, puedo dividir y vencer para obtener d / dt cos ( t ) + 3 ( d / dt ) t ^ 2. Luego, usando mis reglas de derivadas, encuentro que la aceleración es -sin ( t ) + 3 (2 t ), o -sin ( t ) + 6 t. Ahora que conozco la aceleración, puedo encontrar el tirón, que es solo la derivada o la tasa de cambio de la aceleración. Esto es f ” , od / dt f ” (t) , por lo que es d / dt de la aceleración, la tasa de cambio de la aceleración. Puedo calcular eso encontrando d / dt de la aceleración, que es -sin ( t ) + 6 t . Divide y conquistaras; eso es igual a – ( d / dt ) sin ( t ) + 6 ( d / dt ) t . De nuevo, usando mis reglas, sé que esto es igual a -cos ( t ) + 6. Entonces, en este caso, donde mi posición era originalmente sin ( t ) + t^ 3, el tirón en función del tiempo (que es lo rápido que cambia mi aceleración en función del tiempo) es igual a -cos ( t ) + 6.

Use la regla de la cadena para encontrar la primera derivada en el segundo ejemplo

Encontrar la cuarta derivada

Podemos usar estos mismos principios para encontrar cualquier derivada de orden superior. Entonces, por ejemplo, podemos encontrar la derivada de cuarto orden de f (x) = x ^ (- 1) + cos (4 x ). Esta derivada de cuarto orden es f ” . Los matemáticos se vuelven un poco vagos después de los tres primeros, así que escribimos f ^ 4. Encontremos la derivada de cuarto orden de esta función, f (x) = x ^ (- 1) + cos (4 x ).

f` (x) es la derivada de esta función, así que voy a dividir y conquistar y encontrar que f` (x) = – x ^ (- 2) – 4 (sin (4 x )), porque aquí tienes que usar la regla de la cadena. Una vez que tengo la primera derivada , f` (x) , puedo encontrar la segunda derivada, f“ (x) , y esa es la derivada, d / dx de mi primera derivada, od / dx (- x ^ (- 2) – 4 (sin (4 x )). Puedo dividir y conquistar y usar mis reglas de diferenciación para encontrar que esta derivada de segundo orden es 2 x ^ (- 3) – 16cos (4 x ). Así que ahora podemos mantener yendo. f“` (x)es la derivada de f ” (x) , por lo que es d / dx (2 x ^ (- 3) – 16cos (4 x )). Calculando esto usando nuestras reglas de división y conquista / diferenciación, encontramos que esta derivada, esta f“` (x) , es igual a -6 x ^ (- 4) + 64sin (4 x ). Tengo la derivada de tercer orden, pero todavía necesito la derivada de cuarto orden, así que tomemos una diferenciación más. f ^ 4 ( x ) es la derivada d / dx ( f“` (x) ), o -6 x ^ (- 4) + 64sin (4 x ). Puedo dividir esto y conquistar, así que toma la derivada de -6 x^ (- 4), y puedo agregar eso a la derivada de 64sin (4 x ). Tengo que usar la regla de la cadena y encuentro que mi derivada de cuarto orden es 64 x ^ (- 5) + 256cos (4 x ).

La derivada de cuarto orden en el segundo ejemplo

Resumen de la lección

Revisemos. El idiota es como el que tienes en Space Mountain; es la derivada de la aceleración o la tasa de cambio de la aceleración, cómo cambia tu aceleración en función del tiempo. Si grafica esto, es la pendiente de la tangente de tu aceleración en función del tiempo. También es la tercera derivada, f“` (t) , de su posición, f (t) . Al calcular el tirón, también aprendemos algunas cosas importantes sobre las derivadas de orden superior. Para encontrar derivadas de orden superior (la segunda derivada, la tercera derivada, la cuarta derivada, etc.) simplemente siga diferenciando. Diferencia f para obtener f` , diferencia f` para obtener f“, diferencia eso para obtener f“` , y así sucesivamente. Puede calcular tan alto como desee, incluso digamos hasta la derivada de orden 47. Sigue diferenciando.