Cálculo de la desviación estándar

¿Qué es la desviación estándar?

La desviación estándar es la medida de qué tan cerca todos los datos del conjunto de datos rodean la media. La desviación estándar ayuda a identificar una distribución normal de datos al comparar la distancia del promedio de la varianza de cada punto de datos con la media. Se representa una distribución normal de datos cuando la mayoría de los datos se encuentran cerca del promedio del conjunto.

Diferencia

Para calcular la desviación estándar, primero deberá encontrar la varianza. La varianza de un conjunto de datos es el promedio de cada distancia desde el cuadrado medio.

Veamos un conjunto de datos de ejemplo y calculemos la varianza. En la competencia de pesca anual, hubo 10 competidores que pescaron. Cada participante pesó su captura total y registró sus pesos. Había 10 competidores y el peso total de sus peces era de 23 libras, 37 libras, 82 libras, 49 libras, 56 libras, 70 libras, 63 libras, 72 libras, 63 libras. y 45 lbs.

El primer paso para calcular la varianza es encontrar la media del conjunto de datos. Para calcular la media, sumaremos 23 + 37 + 82 + 49 + 56 + 70 + 63 + 72 + 63 + 45, que es igual a 560. Luego, divida 560 ÷ 10 = 56. El peso promedio de los peces capturados fue de 56 libras. .

El siguiente paso para calcular la varianza es restar la media de cada valor. La mejor forma de configurar esto es en una mesa. Mirando la tabla, puede agregar una columna para la media para facilitar la resta. Para obtener estos totales, ahora restaremos:

• 23 – 56 = -33
• 37 – 56 = -19
• 82 – 56 = 26
• 49 – 56 = -7
• 56 – 56 = 0
• 70 – 56 = 14
• 63 – 56 = 7
• 72 – 56 = 16
• 63 – 56 = 7
• 45 – 56 = -11

A continuación, tomaremos cada una de estas diferencias y las cuadraremos. Entonces calcularemos:

• -33 ^ 2 = 1.089
• -19 ^ 2 = 361
• 26 ^ 2 = 676
• -7 ^ 2 = 49
• 0 ^ 2 = 0
• 14 ^ 2 = 196
• 7 ^ 2 = 49
• 16 ^ 2 = 256
• 7 ^ 2 = 49
• -11 ^ 2 = 121

Finalmente, para calcular la varianza, promediaremos cada uno de estos totales al cuadrado. Para hacerlo, sume 1,089 + 361 + 676 + 49 + 0 + 196 + 49 + 256 + 49 + 121 = 2,846. A continuación, tome el total, 2.846, y divídalo por los 10 puntos de datos . 2.846 ÷ 10 = 284,6, por lo que la varianza de este conjunto de datos es 284,6.

Cómo calcular la desviación estándar

Calcular la desviación estándar es simple una vez que encontramos la varianza. Para encontrar la desviación estándar, simplemente sacaremos la raíz cuadrada de la varianza. En el ejemplo anterior, nuestra varianza fue 284,6. La raíz cuadrada de 284,6 es 16,9 cuando se redondea al lugar de las décimas. La desviación estándar para el peso total de los peces capturados fue de 16,9 libras.

Pasos para encontrar la desviación estándar

Como puede ver, encontrar la desviación estándar no es demasiado difícil. Existe una serie de pasos específicos que se deben realizar en orden:

1. Encuentra la media de tu conjunto de datos.
2. Reste la media de cada uno de los puntos de datos.
3. Toma cada una de las diferencias y cuadralas.
4. Encuentre la varianza , que es el promedio de las diferencias al cuadrado.
5. Calcula la raíz cuadrada de la varianza, que es la desviación estándar.

Ejemplo de la parte 1

Usemos estos pasos específicos para trabajar con otro ejemplo. El dueño de una cafetería local quería realizar una encuesta para ver cuántas tazas de café compraba cada visitante en una semana. Decidió preguntar a los siguientes 6 clientes que ingresaron a la tienda cuántas tazas de café habían comprado. El primer cliente había comprado 7 tazas de café, el segundo cliente había comprado 12 tazas de café, el tercer cliente había comprado 6 tazas de café, el cuarto cliente había comprado 4 tazas de café, el quinto cliente había comprado 7 tazas de café, y el sexto cliente había comprado 8 tazas de café. El propietario quiere saber cuántos de los clientes compraron dentro de al menos una desviación estándar del número promedio de tazas compradas.

Recuerde que la forma más sencilla de calcular la desviación estándar es utilizar una tabla. Puede ver toda la información configurada fácilmente en una tabla.

El primer paso es calcular la media de nuestros datos. Al sumar el número de tazas compradas por cada uno de los diferentes clientes, podemos ver que se vendieron 44 tazas de café a los seis clientes. Para encontrar la media, tomaremos 44 tazas y las dividiremos por 6 clientes para igualar 7.3 tazas de café por cliente. 44 ÷ 6 = 7,3. Entonces, la media de nuestro conjunto de datos es 7.3 tazas de café compradas por cliente. Así que agreguemos esta información a nuestra tabla. Como puede ver, necesitamos agregar una columna con solo nuestra media en ella para cada fila.

El segundo paso es ahora restar la media del número de tazas compradas por cada cliente:

• 7 – 7,3 = -0,3
• 12 – 7,3 = 4,7
• 6 – 7,3 = -1,3
• 4 – 7,3 = -3,3
• 7 – 7,3 = -0,3
• 8 – 7,3 = 0,7

Registre estos valores en su tabla.

El tercer paso es cuadrar cada una de las diferencias:

• -0,3 ^ 2 = 0,09
• 4,7 ^ 2 = 22,09
• -1,3 ^ 2 = 1,69
• -3,3 ^ 2 = 10,89
• -0,3 ^ 2 = 0,09
• 0,7 ^ 2 = 0,49

Registre estos valores en su tabla.

El siguiente paso es calcular la varianza. Para hacerlo, promediaremos estas diferencias cuadradas. Primero, sumaremos estas diferencias al cuadrado: 0.09 + 22.09 + 1.69 + 10.89 + 0.09 + 0.49 = 35.34. Luego tomamos el 35.34 y lo dividimos por 6, que es igual a 5.89. La varianza de este conjunto de datos es 5,89.

El último paso para calcular la desviación estándar es encontrar la raíz cuadrada de la varianza. La raíz cuadrada de 5.89 es 2.4 redondeada al lugar de décimas más cercano. Entonces, la desviación estándar de las tazas de café compradas es 2.4.

¿Qué me puede decir la desviación estándar sobre mis datos?

La desviación estándar puede ayudarnos a determinar si nuestros datos son una distribución normal. En una distribución normal, la mayoría de sus datos estarán dentro de una desviación estándar de su media. Para calcular este rango, sumará y restará la desviación estándar a la media.

En el primer ejemplo, el peso promedio del pescado capturado fue de 56 libras. La desviación estándar fue 16,9. Entonces, para encontrar el rango de donde estará la mayor parte de la información, sumaremos y restaremos la desviación estándar a la media: 56 + 16.9 = 72.9 y 56 – 16.9 = 39.1. Esto nos dice que la mayoría de los datos de este conjunto estarán entre 72,9 y 39,1, lo que representa una desviación estándar de la media.

Veamos nuevamente los datos del problema y veamos si la mayoría de los datos están dentro de una desviación estándar. Si observa la recta numérica , puede ver que cualquier número que se encuentre entre 39,1 y 72,9 estaría dentro de una desviación estándar de nuestra media.

Comparemos los pesos totales de los peces para ver qué valores se encuentran dentro de una desviación estándar. El primer participante pescó 23 libras. de pescado, que no estaría dentro de una desviación estándar. El segundo participante pescó 37 libras. de pescado, que tampoco caería dentro de una desviación estándar. El tercer participante capturó 82, que es mayor que 72,9, lo que significa que no está dentro de una desviación estándar. Sin embargo, el resto de nuestros pesos (49 libras, 56 libras, 70 libras, 63 libras, 72 libras, 63 libras y 45 libras) caen entre los valores 39,1 y 72,9, lo que los sitúa dentro de una desviación estándar. .

Para encontrar el rango de dos desviaciones estándar, debe sumar y restar la desviación estándar del rango. Para calcular el rango de dos desviaciones estándar, tomaría 39,1 – 16,9 = 22,2 y 72,9 + 16,9 = 89,8. El rango de dos desviaciones estándar sería de 22,2 a 89,8. Puede ver esto fácilmente en esta recta numérica.

Ejemplo de la parte 2

Veamos el segundo ejemplo y veamos qué rango representaría una desviación estándar de nuestra media. En el segundo ejemplo, el propietario de nuestra cafetería quería encontrar el número promedio de tazas de café compradas por cada cliente en una semana. El número medio de tazas vendidas según la encuesta fue de 7,3. Los propietarios también encontraron una desviación estándar de 2,4.

Para encontrar el rango de una desviación estándar, sumaremos y restaremos la desviación estándar a la media: 7.3 + 2.4 = 9.7 y 7.3 – 2.4 = 4.9. Entonces, el rango de una desviación estándar de datos es de 4.9 a 9.7.

Podemos ver que todos los puntos de datos, excepto las 12 tazas de café y las 4 tazas de café, caen dentro de una desviación estándar. Para calcular el rango para dos desviaciones estándar, sumaríamos / restaríamos la desviación estándar a nuestro rango existente: 9.7 + 2.4 = 12.1 y 4.9 – 2.4 = 2.5. Entonces, el rango para dos desviaciones estándar es de 12,1 a 2,5.

Resumen de la lección

Aunque la desviación estándar puede parecer difícil, ahora debería tener las herramientas para calcular la desviación estándar para cualquier conjunto de datos. Recuerde, la desviación estándar es la medida de qué tan cerca todos los datos en el conjunto de datos rodean la media. Siguiendo estos cinco pasos, puede calcular fácilmente la desviación estándar de cualquier conjunto de datos:

1. Encuentra la media de tu conjunto de datos.
2. Reste la media de cada uno de los puntos de datos.
3. Toma cada una de las diferencias y cuadralas.
4. Encuentre la varianza , que es el promedio de las diferencias al cuadrado.
5. Calcula la raíz cuadrada de la varianza, que es la desviación estándar.

Para verificar si un número está dentro de una desviación estándar de su media, deberá sumar y restar la desviación estándar a la media. Esto le dará un rango específico.

Resultado de aprendizaje

Al ver esta lección, los estudiantes estarán seguros de su capacidad para utilizar los pasos para encontrar la desviación estándar de cualquier conjunto de datos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador