Cálculo diferencial: definición y aplicaciones

Velocidad media e instantánea

¿Qué es el cálculo diferencial ? ¡Hagamos un viaje en coche y descubramos!

Supongamos que hacemos un viaje de Nueva York, NY a Boston, MA. Eso es aproximadamente 200 millas y (dependiendo del tráfico), tomará aproximadamente cuatro horas. Ahora, todos sabemos que la distancia es igual a la tasa multiplicada por el tiempo, o d = rt . En este ejemplo, tenemos la distancia y el tiempo, e interpretamos la velocidad (o rapidez) como una tasa de cambio. Entonces podríamos calcular nuestra velocidad promedio durante el viaje dividiendo la distancia en el tiempo. Eso es:

(200 millas) / (4 horas) = ​​50 millas / hora

Sin embargo, si alguna vez ha conducido en Boston o Nueva York, sabe que cuando está en la ciudad, lo hace a una velocidad mucho menor a 50 mph. Por otro lado, cuando llega a las carreteras, espera ir a más de 50 mph. El cálculo que hicimos es solo un promedio y responde a la pregunta: si mi velocidad se mantuviera igual durante todo el viaje, ¿cuál sería?

Pero tu coche lo sabe mejor. Tiene un velocímetro que realiza un seguimiento de la velocidad (velocidad) en cualquier instante dado. Cuando miras el velocímetro y lee 61 mph, eso te está diciendo la velocidad instantánea en el instante particular de tiempo en que decidiste mirarlo. ¿Cómo lo sabe? ¡Su automóvil está haciendo algo como cálculo diferencial para resolverlo!

Definición

El cálculo diferencial es el estudio de las tasas de cambio de funciones, utilizando las herramientas de límites y derivadas.

Ahora sé que algunas de estas palabras pueden resultarle desconocidas en este punto de su viaje, pero nos tomaremos un tiempo para explicarlas en esta lección. Recuerde, esto es solo una introducción al importante tema del cálculo diferencial. ¡Un tratamiento completo tarda un semestre o más en explicarse!

Tasas de cambio

Bien, profundicemos más en estas ideas. Hay dos conceptos relacionados para discutir, la tasa de cambio promedio y la tasa de cambio instantánea.

Tarifas promedio

Las tasas promedio comienzan con la idea de a y = f ( x ). Ingresa x y obtiene la salida y . Supongamos que sabe esto por álgebra o precálculo. En cálculo, una tasa de cambio es una medida de cómo cambian los valores de y de una función con respecto a los cambios en los valores de x . ¿Suena confuso? Bueno, pensemos en la tasa de la misma manera que en la velocidad. Es una fracción, con el cambio en y en la parte superior dividido por el cambio en x en la parte inferior.

Suponga que comenzamos en x1 y terminamos en x2 . Entonces el cambio en x es la diferencia, x2 – x1 , que es similar a los valores de y como vemos aquí. La notación triangular es un delta de mayúsculas griegas , que significa «cambio en» una cantidad.

Esto no es nada nuevo. ¡Es la misma fórmula de pendiente que has visto en la clase de álgebra! Es simplemente levantarse sobre correr. Y mide lo que llamamos la tasa de cambio promedio de f en el intervalo de x1 a x2 . La única diferencia ahora es que tenemos que usar la función dada f para encontrar los valores de y , así:

Tarifas instantáneas

Bien, pero ¿qué pasa si queremos saber la tasa de cambio en un instante en particular, o nuestra tasa instantánea? La fórmula de la tasa de cambio promedio requiere dos puntos diferentes, x1 y x2 , y no funciona tan bien cuando x1 = x2 porque entonces x2 – x1 = 0 en la parte inferior de la fracción. Y nunca se nos permite dividir por 0, ¿verdad?

Aquí es donde entran los límites. Verá, aunque no se nos permite dejar x2 = x1 (dado que eso produciría una división entre 0, podríamos permitir que x2 se acerque cada vez más a x1 .

Sin embargo, los detalles se complican aquí. Digamos que arreglamos x1 = x (para algún valor arbitrario x ), y dejamos x2 = x + (un poco). Entonces, si el bit es lo suficientemente pequeño, el cálculo de la velocidad promedio debe ser una estimación bastante precisa de la velocidad instantánea en x . Ahora, en lugar de decir ‘un poquito’, usemos una variable, como h . Es decir, x2 = x + h . Entonces, la fórmula de la tasa de cambio se ve así:

Finalmente, debemos suponer que h eventualmente se acercará a 0 (aunque en la práctica, esto solo puede ocurrir después de que se haya usado algo de álgebra para simplificar la expresión). Escribimos esto usando notación límite, y esto se convierte en la definición de la tasa de cambio instantánea , o la derivada de f , con la definición límite de la derivada con este aspecto:

Derivados y diferenciación

Ahora que nos hemos mojado un poco los pies, hablemos de más terminología. La tasa de cambio instantánea de una función se llama derivada de la función, como mencionamos hace un minuto. En lecciones posteriores, desarrollará herramientas y fórmulas para ayudar a encontrar derivadas. Por ejemplo, si f ( x ) = x ^ 2 , entonces algo llamado regla de potencia implica que la derivada es f ( x ) = 2. Y el proceso de encontrar una derivada se llama diferenciación .

Hay toneladas de técnicas diferentes que se utilizan para diferenciar funciones. ¡También hay toneladas de aplicaciones diferentes para el cálculo diferencial! Como tal, el cálculo diferencial puede considerarse como la rama de las matemáticas en la que se aprende cómo y por qué diferenciar funciones.

Resumen de la lección

Bien, repasemos rápidamente. El cálculo diferencial es la rama de las matemáticas que se ocupa de las tasas de cambio. La idea comienza con una fórmula para la tasa de cambio promedio, que es esencialmente un cálculo de pendiente. Luego, usando límites, se puede desarrollar una fórmula para la tasa de cambio instantánea, que se llama derivada de una función.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador