Cálculo integral: definición y aplicaciones

Área bajo la curva

Hay numerosos pares de cosas opuestas como la noche y el día, lo duro y lo suave, lo caliente y lo frío, lo derivado y lo integral. Las derivadas son pendientes de rectas tangentes a curvas y las integrales son áreas entre la gráfica de una función y el eje horizontal. Pongámonos ocupados revisando ejemplos de las numerosas aplicaciones de integrales.

Desplazamiento

El desplazamiento es la cantidad vectorial que representa la diferencia entre la posición final de un objeto y su posición inicial. En otras palabras, qué tan lejos viajó del punto A al punto B.

El desplazamiento es la integral de la velocidad, que se parece a

Digamos que la velocidad de un objeto varía con el tiempo según la ecuación

y queremos saber el desplazamiento del objeto entre t = 0 y t = 5 segundos. Tomamos la integral general y sustituimos la ecuación de velocidad en la integral que nos da

Tomando la integral obtenemos

que se evalúa entre t = 0 y t = 5 segundos resultando en

Cambio de velocidad

Ahora veamos la integral de aceleración.

La integral de la aceleración es el cambio de velocidad , que es

La aceleración debida a la gravedad en la Tierra es de 9,8 m / s 2 . Digamos que lanzamos una pelota hacia abajo con una velocidad inicial de 5 m / s. ¿Cuál será su velocidad después de 10 segundos? Asumiremos que no hay resistencia del aire en este escenario.

El primer paso es configurar la integral dándonos

Ahora integramos la función con respecto al tiempo y la evaluamos entre los límites 0 segundos y 10 segundos resultando en

Resolviendo para v f obtenemos

Promedios

Ahora veamos cómo usar la integral para determinar el valor promedio de una función.

Probablemente haya realizado cálculos que incluyan promedios como calificaciones promedio en la escuela o millaje promedio por galón de consumo de gasolina de su vehículo. Los promedios son la suma de múltiples valores divididos por el número de valores. Podemos usar la integral para determinar el valor promedio de una función entre límites establecidos. La ecuación general para el valor promedio de una función es

Determinemos el valor promedio de

entre x = 0 y x = 2.

Todo lo que tenemos que hacer es insertar la función y los límites en la ecuación y resolver. Conectando la función y los límites a la integral obtenemos

Tomando la integral y evaluándola entre x = 0 y x = 2 nos da

Haciendo aritmética, obtenemos la respuesta

Trabajo

Hemos estado haciendo mucho trabajo de cálculo, pero ¿qué pasa con el trabajo de física? ¡Sí, el trabajo de física también es una parte integral!

El trabajo en términos de física implica aplicar una fuerza sobre un objeto que hace que se mueva. El trabajo se define como el producto escalar de fuerza y ​​desplazamiento. Si la fuerza está en la misma dirección del desplazamiento, la definición se simplifica para ser el producto de la fuerza y ​​el desplazamiento o

Si la fuerza varía con el desplazamiento, podemos usar una integral para determinar el trabajo realizado. La configuración para esto es

Digamos que el trabajo varía con el desplazamiento según la ecuación

¿Cuál es la cantidad de trabajo realizado entre x = 0 metros yx = 10 metros? Conectamos esta función y límites a la integral del trabajo dándonos

Tomando la integral obtenemos

que ahora podemos evaluar dándonos

Centro de masa

El centro de masa es la ubicación en un objeto donde se puede considerar que se encuentra toda la masa del objeto. Piense en una barra de pretzel. Dado que la varilla de pretzel es consistente a lo largo de su longitud, el centro de masa se encuentra justo en el centro de la varilla. Usemos cálculo integral para probar esto.

La ecuación general para el centro de masa es

Advertencia Hay dos variables en esta integral ( x y m ), que tiene que ser fija. Para remediar esto usamos densidad lineal

donde λ es la densidad lineal, M es la masa y L es la longitud. Una rebanada muy fina de la varilla es

que resolvemos para dm . Cuando resolvemos para dm podemos sustituir lo que equivale a dm en la integral inicial haciendo que nuestras variables coincidan. Esto nos da

Sacando todas las constantes que obtenemos

Ahora tomamos la integral, que es

Evaluando entre los límites que obtenemos

Para terminar este problema que enciende por lo que es igual a λ, que es M / L . Esto resulta en

¡Esto es exactamente lo que obtuvimos cuando asumimos que el centro de masa de la barra de pretzel estaba en el medio!

Tecnología

El software cargado en computadoras, calculadoras y teléfonos inteligentes se puede utilizar para resolver integrales. En una computadora, podemos usar programas y fuentes de Internet para evaluar integrales. Las calculadoras gráficas tienen un software instalado para evaluar integrales. También hay aplicaciones que se pueden descargar en teléfonos inteligentes para resolver integrales. Una vez que aprenda los conceptos básicos de cómo funcionan las integrales y cómo evaluarlas, usar uno de estos tres recursos tecnológicos puede permitirle concentrarse en la configuración de la integral y luego permitir que la tecnología la calcule por usted.

Resumen de la lección

Las integrales son áreas entre la gráfica de una función y el eje horizontal. Existen numerosas aplicaciones de integrales. El uso de tecnología como software de computadora, fuentes de Internet, calculadoras gráficas y aplicaciones para teléfonos inteligentes puede facilitar la resolución de problemas integrales. Algunas aplicaciones de las integrales son:

• Desplazamiento , que es la integral de la velocidad con respecto al tiempo.
• Cambio de velocidad , que es la integral de la aceleración con respecto al tiempo.
• Promedios de funciones entre límites establecidos.
• Trabaja en términos de una fuerza aplicada que mueve un objeto.
• Centro de masa de objetos extendidos como varillas.