Cálculos con la ley de Wien y la ley de Stefan-Boltzmann

Publicado el 3 octubre, 2020

Leyes de radiación de cuerpo negro

En un par de lecciones más, es posible que haya aprendido sobre los cuerpos negros y la radiación de cuerpos negros. Un cuerpo negro es este objeto teórico que es el mejor para emitir y absorber todas las longitudes de onda de radiación que caen sobre él. Esta radiación, una forma de energía llamada radiación electromagnética, se conoce como radiación de cuerpo negro cuando es emitida por un cuerpo negro.

Las propiedades importantes de la radiación del cuerpo negro se pueden describir con dos leyes que se pueden poner en ecuaciones matemáticas bastante simples. Estas leyes son la ley de Stefan-Boltzmann y la ley de Wien. Se reducen a esto. La ley de Stefan-Boltzmann dice que la energía total irradiada por un cuerpo negro es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura, mientras que la ley de Wien es la relación entre la longitud de onda de máxima intensidad que emite un cuerpo negro y su temperatura. La longitud de onda de máxima intensidad que emite un objeto se conoce como lambda max .

Esta lección le explicará las ecuaciones involucradas en estas leyes y cómo ayudan a los astrónomos a comprender el cosmos.

Ley de Wien

La ley de Wien está escrita por la ecuación que se muestra en su pantalla:

ecuación de la ley de wiens

Aquí, lambda max (en metros) es igual a una constante, b , dividida por una temperatura, T (en kelvin). La constante tiene un valor de 2.9 * 10 ^ -3 m K.

Es importante tener en cuenta que la ley de Wien le da la longitud de onda de emisión máxima en metros. Esto significa que si desea convertir su respuesta a nanómetros, debe multiplicar su respuesta por 10 ^ 9 nm / 1 m.

Si conocemos la temperatura de un cuerpo, podemos usar la ley de Wien para calcular lambda max, la longitud de onda a la que emite radiación con mayor intensidad. Por el contrario, la ley de Wien ayuda a los astrónomos a determinar la temperatura de la superficie de una estrella sin tener que saber su tamaño, cuánta energía irradia y qué tan lejos está. Entonces, es una ley bastante conveniente.

Hagamos un cálculo de práctica para ver esta ley en acción. La intensidad máxima de la luz solar es de aproximadamente 500 nm. Entonces, ¿qué tan caliente está la superficie del sol?

Primero, necesitamos convertir 500 nm en metros. Dividiendo 500 nm por 10 ^ 9 nm / 1 m, convertimos 500 nm en 5.0 * 10 ^ -7 m.

Después de esto, el resto es fácil. Establezca 5.0 X 10 ^ -7 m igual a (2.9 * 10 ^ -3 m K) / T (temperatura). Esto es lo mismo que escribir T = (2.9 * 10 ^ -3 m K) / (5.0 * 10 ^ -7 m). Por tanto, la temperatura de la superficie de nuestro sol es de 5.800 K.

La ley de Stefan-Boltzmann

Si bien la ley de Wien puede usarse para ayudarnos a encontrar la temperatura o la longitud de onda de máxima intensidad de un cuerpo, dependiendo de cuál de los dos tengamos como dado, la ley de Stefan-Boltzmann se usa, en términos simples, para encontrar cómo Mucha energía que emite un objeto dependiendo de la temperatura.

Sin embargo, es un poco más complejo que eso. Este es el por qué. La cantidad total de energía que irradia una estrella en un segundo se conoce como luminosidad . La luminosidad depende de la temperatura y el área de la superficie de la estrella (su ‘tamaño’, por así decirlo). ¿Por qué?

Pensemos en un ejemplo familiar. Si enciendes un fósforo, su temperatura será la misma que la de un gran leño ardiendo en una chimenea, pero ¿cuál irradiará más calor? ¿A cuál puedes acercarte sin que la intensidad del calor te haga retroceder? Es la pequeña cerilla, ¿no? Eso significa que dada la misma temperatura, las estrellas más grandes emiten más energía que las más pequeñas, como un tronco emite más energía que una pequeña cerilla. Eso significa que el área de la superficie es una consideración importante para determinar la producción total de energía de una estrella.

En consecuencia, es necesario determinar la cantidad de energía, en julios (J) por segundo, emitida desde un metro cuadrado de la superficie de un objeto, algo llamado flujo de energía , o F . Como resultado de esta definición, el flujo de energía se expresa como julios por metro cuadrado por segundo (J / m ^ 2 / s), o porque un vatio (W) equivale a un julio por segundo, como vatios por metro cuadrado (W / m ^ 2).

Para nosotros, es más fácil pensar en el flujo de energía básicamente como la rapidez con la que la energía fluye hacia afuera de un objeto. Por lo tanto, la ley de Stefan-Boltzmann se usa más técnicamente para determinar la velocidad a la que un cuerpo emite radiación dependiendo de su temperatura, o la temperatura de un objeto si se conoce el flujo de energía de la luz emitida.

Esta ley está escrita como una ecuación como se muestra en su pantalla:

ecuación de stefan boltzmann

Aquí, F es igual a nuestro flujo de energía. El símbolo sigma es igual a una constante de 5.67 * 10 ^ -8 J / (sm ^ 2 K ^ 4), y T es igual a la temperatura del objeto en Kelvin.

En términos muy simples, pero también muy importantes, tal relación entre el flujo emitido y la temperatura nos muestra que simplemente duplicando la temperatura de un objeto, la energía emitida desde la superficie de ese objeto cada segundo aumenta no dos veces, ni cuatro veces, sino en 16 ¡veces! ¡Eso es porque la temperatura se eleva a la cuarta potencia! Por eso es conveniente pensar en la ley de Stefan-Boltzmann como dependiente de la temperatura y nada más.

Los astrónomos usan esta poderosa ecuación para determinar más que solo la temperatura de la estrella o el flujo de energía. También pueden inferir el área de superficie y el diámetro de una estrella. Por ejemplo, una estrella relativamente fría que es muy brillante solo puede brillar en tales circunstancias si es realmente enorme. Por otro lado, si encuentran una estrella que está muy caliente pero muy tenue, entonces esta estrella debe ser bastante pequeña y, por lo tanto, tiene una pequeña superficie para la emisión de luz.

Resumen de la lección

Esta lección trataba sobre la ley de Stefan-Boltzmann , que dice que la energía total irradiada por un cuerpo negro es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura, y la ley de Wien , que trata sobre la relación entre la longitud de onda de máxima intensidad que emite un cuerpo negro y su temperatura. La longitud de onda de máxima intensidad que emite un objeto se conoce como lambda max .

La ley de Wien ayuda a los astrónomos a calcular la temperatura de la superficie de una estrella o su longitud de onda de máxima intensidad. La ley de Stefan-Boltzmann ayuda a los astrónomos a calcular cuál es la temperatura de un objeto o su flujo de energía. El flujo de energía es la cantidad de energía, en julios (J) por segundo, emitida desde un metro cuadrado de la superficie de un objeto, y por esa definición, obviamente está relacionado con la cantidad total de energía que irradia una estrella en un segundo, conocido más formalmente como luminosidad , así como superficie.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, su nuevo conocimiento le permitirá:

  • Definir lambda max, flujo de energía y luminosidad
  • Escribir y explicar la ley de Stefan-Boltzmann y la ley de Wien.
  • Analice por qué la ley de Stefan-Boltzmann depende de la temperatura

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