Cambio en la energía potencial gravitacional: gráficos y análisis

Energía potencial gravitacional

Imagine mover una masa de 5 kg desde el piso hasta la parte superior de un conjunto de cuatro escalones y pesar la masa en cada escalón a lo largo del camino.

Una masa de 5 kg se mueve a una altura total de 1 m.

Así como de alguna manera no ganamos peso cada vez que subimos las escaleras, el peso de la masa de 5 kg no cambiará de un escalón al siguiente. Calculamos su peso multiplicando su masa (5 kg) por la aceleración debida a la gravedad (unos 10 m / s 2 ):

La masa multiplicada por la aceleración nos da fuerza, por lo que podemos pensar en el peso de este objeto de 50 newtons como la fuerza gravitacional sobre esa masa de 5 kg. Usamos el newton (N) como nuestra unidad de fuerza. Una vez más, el peso del objeto no cambió a medida que avanzaba en cada paso. Sin embargo, ¡la energía potencial gravitacional del objeto ha aumentado!

La energía potencial gravitacional (GPE) de un objeto es la energía que tiene debido a su posición en un campo gravitacional. Para hablar de cómo cambia esta energía, tenemos que elegir un punto de referencia donde la GPE sea igual a cero. Para los casos en que el objeto está cerca de la superficie de la Tierra, como en el ejemplo de nuestros pasos, ese punto de referencia cero suele ser el suelo. Cuando nuestra masa sube al primer escalón, tiene un valor de GPE distinto de cero. Este valor aumenta con cada paso que se eleva por encima del suelo.

Veamos qué significa esto explorando nuestro primer tipo de gráfico, que analiza la fuerza gravitacional (peso) versus la distancia vertical (altura por encima del punto de referencia de GPE cero).

Fuerza gravitacional versus distancia

Ahora, podemos graficar estos datos en un gráfico de fuerza gravitacional (peso) versus distancia (altura).

Podemos usar este gráfico para ver cuánto ha cambiado el GPE de la masa de estar en el piso a estar a 1 metro del suelo. El área entre la línea en negrita (el peso de la masa) y el eje de distancia representa el cambio en la energía potencial gravitacional (ΔGPE) de la masa.

Dado que el peso no cambia, tenemos un área rectangular que se puede calcular de esta manera:

Esta área es el ΔGPE de la masa de 5 kg desde su ubicación inicial en el piso hasta su ubicación final en el escalón superior. Originalmente, tenía cero GPE cuando estaba en el suelo, y trabajamos en la masa moviéndola hacia arriba. Ese trabajo se ha almacenado como GPE. Nuestro ΔGPE se expresa en julios (J), que son las unidades utilizadas para el trabajo realizado sobre un objeto.

Observe que multiplicamos las unidades del eje de la fuerza gravitacional (peso que es mg ) por las unidades del eje de distancia (altura que es h ). Esta es la ecuación exacta para la energía potencial gravitacional, mgh .

Fuerza del campo gravitacional versus distancia

Podemos usar los mismos datos de nuestro experimento, pero trazarlos de manera un poco diferente. El eje vertical de nuestro nuevo gráfico mostrará la fuerza del campo gravitacional, que es el peso dividido por la masa en unidades de N / kg. Al igual que antes, este valor, aunque será un número diferente, será constante:

Observe que la línea en negrita en 10 es la aceleración debida a la gravedad en la Tierra.

Veamos qué nos da el área entre la línea en negrita y el eje de distancia:

Este valor de área de 10 newton-metros-por-kilogramo no tiene las mismas unidades que ΔGPE, que está en newton-metros o julios. Para obtener ΔGPE, todo lo que tenemos que hacer es multiplicar el área por la masa del objeto que subimos por los escalones.

Obtenemos exactamente los mismos resultados que obtuvimos para el área en el gráfico anterior de fuerza gravitacional versus distancia. Por lo tanto, el área entre la curva y el eje de distancia en un gráfico de intensidad de campo gravitacional versus distancia multiplicado por la masa del objeto también da uso ΔGPE:

Problema de ejemplo

Probemos con un ejemplo más. Imagínese que un astronauta de 75 kg con un traje espacial de 91 kg está en un planeta. Cuando el astronauta sube 1,5 m por una escalera desde la superficie del planeta hasta la cápsula espacial, el ΔGPE es de 399 julios. ¿Cuál es la aceleración debida a la gravedad en este planeta?

subiendo por la cápsula espacial

En otras palabras, estamos buscando la fuerza del campo gravitacional del planeta, por lo que querríamos usar este tipo de gráfico:

Observe que el gráfico no da ningún valor para la intensidad del campo gravitacional, pero podemos solucionarlo. Sabemos que el área bajo la curva que va de 0 a 1,5 m multiplicada por la masa total del astronauta es ΔGPE. En otras palabras, ya tenemos ΔGPE, la masa total y el cambio de altura, por lo que podemos reorganizar la ecuación para resolver la intensidad del campo gravitacional:

Para resolver la intensidad del campo gravitacional del planeta (llamémoslo planeta g ), podemos introducir esos valores y seguir de cerca las unidades.

La aceleración debida a la gravedad en este planeta es de aproximadamente 1,6 m / s 2 , por lo que el astronauta no tuvo que hacer mucho trabajo para subir la escalera.

¿Qué sucede a grandes distancias?

Tenga en cuenta que todos nuestros gráficos involucran escenarios cerca de la superficie de un planeta, donde podemos tratar la fuerza gravitacional y la intensidad del campo como constantes. A distancias muy grandes de la superficie del planeta (como un astronauta orbitando la Tierra), la fuerza gravitacional y la intensidad del campo caen exponencialmente, por lo que los gráficos involucran curvas en lugar de líneas rectas. Necesitamos usar el cálculo integral para encontrar las áreas en estos gráficos, pero los conceptos generales para ΔGPE aún se aplican.

Resumen de la lección

La energía potencial gravitacional (GPE) de un objeto es la energía debida a su posición en un campo gravitacional. El cambio del objeto en la energía potencial gravitacional (ΔGPE) se puede determinar a partir de dos gráficos diferentes: fuerza gravitacional versus distancia y fuerza del campo gravitacional versus distancia.

Para el gráfico de fuerza gravitacional versus distancia, el área entre la fuerza gravitacional trazada y el eje de distancia nos da ΔGPE:

Para el gráfico de intensidad de campo gravitacional versus distancia, la intensidad de campo es la aceleración debida a la gravedad. Necesitamos multiplicar esa área entre la intensidad de campo graficada y el eje de distancia por la masa que se mueve en el campo gravitacional para encontrar ΔGPE:

Podemos usar las áreas en estos gráficos para resolver una variedad de problemas, ¡pero lleve un registro de las unidades al resolver!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador